《Python深度学习》第二讲：深度学习的数学基础

本讲来聊聊深度学习的数学基础。

深度学习听起来很锋利，其实它背后是一些很风趣的数学原理。本讲会用简朴的方式表明这些原理，还会用一些具体的例子来帮助你理解。

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2.1 初识神经网络

先从一个简朴的使命开始：辨认手写数字。
想象一下，你有一堆手写数字的图片，你想让盘算机辨认出这些数字。这听起来是不是有点像邪术？其实，这就是深度学习能做的事变。我们用一个简朴的神经网络来解决这个问题。
我们用的是MNIST数据集，这是一个很经典的数据集，包含60,000张训练图片和10,000张测试图片，每张图片都是一个28×28的灰度图像。我们的目标是训练一个神经网络，让它能够辨认这些数字。

1. from keras.datasets import mnist
2. (train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()

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我们来看看这些数据。
train_images是一个形状为(60000, 28, 28)的3D张量，train_labels是一个长度为60000的数组，包含0到9的数字。test_images和test_labels也是类似的，但只有10,000张图片。

1. print(train_images.shape)  # 输出：(60000, 28, 28)
2. print(train_labels.shape)  # 输出：(60000,)

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接下来，我们构建一个简朴的神经网络。
这个网络包含两个Dense层，第一层有512个神经元，第二层有10个神经元，对应10个数字类别。我们使用ReLU激活函数和softmax激活函数，让网络能够输出每个数字的概率。

1. from keras import models
2. from keras import layers
4. network = models.Sequential()
5. network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,)))
6. network.add(layers.Dense(10, activation='softmax'))

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然后，我们必要编译网络。
我们选择rmsprop作为优化器，categorical_crossentropy作为损失函数，accuracy作为评估指标。

1. network.compile(optimizer='rmsprop',
2.                 loss='categorical_crossentropy',
3.                 metrics=['accuracy'])

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在训练之前，我们必要对数据进行预处理。
我们必要将图片数据从整数转换为浮点数，并且将它们的形状从(28, 28)变为(28 * 28)。我们还必要将标签数据进行分类编码。

1. train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
2. train_images = train_images.astype('float32') / 255
4. test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))
5. test_images = test_images.astype('float32') / 255
7. from keras.utils import to_categorical
9. train_labels = to_categorical(train_labels)
10. test_labels = to_categorical(test_labels)

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末了，我们开始训练网络。
我们用fit方法来训练网络，每次迭代都会盘算损失值和准确率。我们训练5个epoch，每次处理128张图片。

1. network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)

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训练完成后，我们在测试集上评估模子的性能。

1. test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels)
2. print('Test accuracy:', test_acc)

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效果怎么样呢？
你会发现，这个简朴的神经网络在测试集上的准确率可以达到98%左右。这说明深度学习真的很强大，它能够自动从数据中学习规律，然后在新数据上进行准确的猜测。

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2.2 神经网络的数据表示

好，下面我们来聊聊神经网络的数据表示。
在深度学习中，所有的数据都是以张量的情势存储的。张量就像是一个多维数组，它可以存储不同维度的数据。比如，标量是一个0维张量，它就是一个单独的数字；向量是一个1维张量，它是一组数字；矩阵是一个2维张量，它是一个数字的网格。在深度学习中，我们经常用到高维张量，比如一个4维张量可以用来表示一批图像数据。
我们来看一个具体的例子。
在MNIST数据集中，每张图片是一个28×28的灰度图像，它是一个2维张量。当我们把所有图片放在一起时，它就变成了一个3维张量。比如，train_images是一个形状为(60000, 28, 28)的3D张量，表示有60,000张图片，每张图片是一个28×28的矩阵。

1. print(train_images.shape)  # 输出：(60000, 28, 28)

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张量的属性也很紧张。
每个张量都有几个紧张的属性：它的轴数（维度数）、形状（每个维度的巨细）和数据类型（比如float32或uint8）。这些属性决定了张量的结构和存储方式。

1. print(train_images.ndim)  # 输出：3
2. print(train_images.shape)  # 输出：(60000, 28, 28)
3. print(train_images.dtype)  # 输出：uint8

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在训练神经网络之前，我们必要对数据进行预处理。
我们必要将图片数据从整数转换为浮点数，并且将它们的形状从(28, 28)变为(28 * 28)。我们还必要将标签数据进行分类编码。

1. train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
2. train_images = train_images.astype('float32') / 255
4. test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))
5. test_images = test_images.astype('float32') / 255
7. from keras.utils import to_categorical
9. train_labels = to_categorical(train_labels)
10. test_labels = to_categorical(test_labels)

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为什么要这样做呢？
因为神经网络必要输入的数据是浮点数，并且数据的范围最好在0到1之间。这样可以让网络的学习过程更加稳固。分类编码则是为了让标签数据更得当神经网络的输出层。

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2.3 神经网络的“齿轮”：张量运算

张量运算是神经网络的核心，它决定了数据如安在神经网络中流动和变换。我们来看几个具体的张量运算。
逐元素运算
逐元素运算是最简朴的张量运算之一，它会对张量中的每个元素单独进行操纵。比如，ReLU激活函数会将所有负值置为0，这可以帮助网络处理非线性问题。

1. import numpy as np
3. def naive_relu(x):
4.     assert len(x.shape) == 2
5.     x = x.copy()
6.     for i in range(x.shape[0]):
7.         for j in range(x.shape[1]):
8.             x[i, j] = max(x[i, j], 0)
9.     return x

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广播机制
广播是一种非常奇妙的机制，它可以让不同形状的张量进行运算。比如，你可以将一个2D张量和一个1D张量相加，广播会自动将1D张量扩展到2D张量的形状，然后进行逐元素运算。

1. def naive_add_matrix_and_vector(x, y):
2.     assert len(x.shape) == 2
3.     assert len(y.shape) == 1
4.     assert x.shape[1] == y.shape[0]
5.     x = x.copy()
6.     for i in range(x.shape[0]):
7.         for j in range(x.shape[1]):
8.             x[i, j] += y[j]
9.     return x

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张量点积
点积是一种非常紧张的张量运算，它会将两个张量的元素合并在一起。比如，矩阵乘法就是一种点积运算，它在神经网络中被广泛用于盘算权重和输入的组合。

1. def naive_matrix_dot(x, y):
2.     assert len(x.shape) == 2
3.     assert len(y.shape) == 2
4.     assert x.shape[1] == y.shape[0]
5.     z = np.zeros((x.shape[0], y.shape[1]))
6.     for i in range(x.shape[0]):
7.         for j in range(y.shape[1]):
8.             row_x = x[i, :]
9.             column_y = y[:, j]
10.             z[i, j] = np.dot(row_x, column_y)
11.     return z

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张量变形与转置
张量变形可以改变张量的形状，但不会改变它的数据。比如，你可以将一个3D张量变形为一个2D张量，以便进行矩阵运算。转置则是将矩阵的行和列交换，这在某些情况下非常有效。

1. x = np.array([[5, 78, 2, 34, 0],
2.               [6, 79, 3, 35, 1],
3.               [7, 80, 4, 36, 2]])
4. x = x.reshape((2, 3, 5))  # 变形为一个3D张量
5. x = np.transpose(x)  # 转置

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2.4 神经网络的“引擎”：基于梯度的优化

想象你有一个函数，你想找到它的最小值。导数就像是一个指南针，它告诉你函数在某个点的变化方向。梯度则是导数在多维空间中的推广，它告诉你函数在每个方向上的变化速度。
梯度降落算法就像是一个爬山者，它会沿着梯度的反方向一步一步地探求函数的最小值。
每次迭代，它都会根据梯度的巨细调整本身的位置，直到找到最小值。

1. def naive_gradient_descent(x, gradient, learning_rate):
2.     x -= learning_rate * gradient
3.     return x

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随机梯度降落（SGD）是一种更高效的梯度降落算法，它每次只用一小部分数据来盘算梯度。
这样可以大大减少盘算量，同时让训练过程更快。

1. def naive_sgd(x, gradient, learning_rate):
2.     x -= learning_rate * gradient
3.     return x

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链式求导与反向传播算法是深度学习的核心。
反向传播算法通过链式求导来盘算每个参数的梯度。想象你有一个复杂的机器，你想调整它的每个部件来达到最好的效果。反向传播就像是一个工程师，它从输出端开始，逐层盘算每个部件的调整方向，然后将这些调整方向传播回输入端。

1. def naive_backpropagation(x, y, learning_rate):
2.     # 这里是一个简化的反向传播过程
3.     gradient = np.dot(x.T, y)
4.     x = naive_gradient_descent(x, gradient, learning_rate)
5.     return x

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2.5 回首第一个例子

好，下面我们来回首一下第一个例子。
我们用Keras框架实现了一个简朴的神经网络，让它能够辨认手写数字。我们加载了MNIST数据集，对数据进行了预处理，构建了一个包含两个Dense层的神经网络，编译了网络，训练了网络，并在测试集上评估了模子的性能。
我们来看看这个过程的具体代码。

1. from keras.datasets import mnistfrom keras import modelsfrom keras import layers# 加载数据(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()# 数据预处理train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
2. train_images = train_images.astype('float32') / 255
4. test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))
5. test_images = test_images.astype('float32') / 255
7. from keras.utils import to_categorical
9. train_labels = to_categorical(train_labels)
10. test_labels = to_categorical(test_labels)# 构建网络network = models.Sequential()network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,)))network.add(layers.Dense(10, activation='softmax'))# 编译网络network.compile(optimizer='rmsprop',
11.                 loss='categorical_crossentropy',
12.                 metrics=['accuracy'])# 训练网络network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)# 评估模子test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels)
13. print('Test accuracy:', test_acc)

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效果怎么样呢？
你会发现，这个简朴的神经网络在测试集上的准确率可以达到98%左右。这说明深度学习真的很强大，它能够自动从数据中学习规律，然后在新数据上进行准确的猜测。

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总结

我们从神经网络的数据表示讲起，了解了张量的概念和属性。我们还学习了几种紧张的张量运算，比如逐元素运算、广播机制、点积运算、张量变形和转置。末了，我们深入探讨了基于梯度的优化，包括梯度降落算法、随机梯度降落算法和反向传播算法。
这些数学基础是深度学习的核心，它们让神经网络能够自动学习数据的复杂特征。


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