雅可比行列式

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主题 1003|帖子 1003|积分 3009

定义和推导

雅可比行列式,它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。以下是雅可比式的推导过程:
二阶雅可比式的推导以二重积分中的极坐标变换为例,设 :

 ,则 x 和 y 的全微分分别为:

 可以将 dx 与 dy 视作基向量为 dr 与 d\theta 的两个向量。为了求这两个向量构成的平行四边形的面积,可以求其外积向量的模长。引入第三个基向量 dz 来表现垂直于 xoy 平面的方向,此时:

 由于

 ,以是:

 这表明在极坐标变换下,面积元 dxdy 被雅可比行列式 r 所缩放。高阶雅可比式的推导对于一样寻常的 n 元函数

 其雅可比矩阵 J 是一个 n * n的矩阵,定义为:

 雅可比行列式就是这个矩阵的行列式。比方,对于从球坐标系到直角坐标系的变换,其雅可比矩阵为:

 其雅可比行列式为

 这表明在球坐标变换下,体积元 dxdydz 被雅可比行列式 r^2sinφ所缩放。
雅可比式的性子

1. 链式法则:若因变量对自变量连续可微,而自变量对新变量连续可微,则因变量对新变量连续可微,且雅可比行列式满意:

 这个公式答应我们将一个雅可比行列式转换成两个行列式的乘积。
2. 反函数的雅可比行列式:如果取 (u, v) = (x, y) ,则有:

 3. 对称性:从定义易知:

 

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这个人很懒什么都没写!
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