SVD原理
SVD分解或者说极大协方差分析方法，重要针对于一般实矩阵的SVD运算。此中，一般实矩阵指行数和列数可以不等的实元素矩阵。
如下所示，假设 C C C 为 m × n m \times n m×n阶矩阵，则存在一个 m × m m \times m m×m阶的列正交矩阵 U U U 和 n × n n \times n n×n阶的列正交矩阵 V V V，使得：
C = U ( Σ 0 0 0 ) V T \mathbf{C}=\mathbf{U} \begin{pmatrix} \mathbf{\Sigma} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix}\mathbf{V}^\mathbf{T} C=U(Σ000)VT
成立。此中， Σ \Sigma Σ
是 r r r 阶对角矩阵或者可以写成 Σ = d i a g ( σ 1 , σ 2 , σ 3 , . . . , σ r ) \Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,...,\sigma_r) Σ=diag(σ1,σ2,σ3,...,σr), ( r ⩽ min { m , n } ) (r\leqslant\min\{m,n\}) (r⩽min{m,n}),且 σ 1 ⩾ σ 2 ⩾ ⋯ ⩾ σ r > 0 \sigma_1\geqslant\sigma_2\geqslant\cdots\geqslant\sigma_r>0 σ1⩾σ2⩾⋯⩾σr>0。
以上称为实一般矩阵 C C C的奇特值分解， σ i ( i = 1 , 2 , 3 , . . . , r ) \sigma_i(i=1,2,3,...,r) σi(i=1,2,3,...,r)称为 C C C的奇特值， U U U的列向量称为左奇特向量， V V V的列向量称为右奇特向量。
对于正交矩阵，总是使空间旋转或反射，而对角矩阵总是使空间缩放。
本质上，对于一个矩阵 C C C的奇特值分解，实际转换为求取以上两个方阵 U U U和 V V V的特征值和特征向量的问题，特征值的正的平方根就是奇特值（对角矩阵 Σ \Sigma Σ的对角线元素），特征值对应的特征向量分别是左奇向量和右奇向量，下面会先容干系的盘算。
下面是SVD的一个分解示意图：
盘算步调
以下 C T C^T CT表现 C C C的转置
1、盘算左奇特向量（ U U U）。它等于 C C T CC^T CCT 的特征向量。
2、盘算右奇特向量（ V V V）。它等于 $C^TC $的特征向量。
3、盘算 C C T CC^T CCT 或 C T C C^TC CTC 的特征值的平方根。
以上盘算过程可以在numpy函数中封装，可以直接举行调用:numpy.linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)
当 a 是一个 2D 数组时, 且 full_matrices=False,然后将其分解为 u @ np.diag(s) @ vh = (u * s) @ vh ,此中 u 和 vh 的 Hermitian 转置是具有正交列的二维数组，s 是 a 的奇特值的一维数组。
np.diag()表现提取对角线或构建对角数组。此中，返回的 U U U是左奇特向量， V h Vh Vh是右奇特向量， s s s是奇特值
GitHub上有博主提供了一个盘算演示代码：
- https://github.com/longhongc/SVD-python-implementation/blob/main/my_SVD.ipynb
SVD与EOF的关系
EOF实际上是SVD的特别环境，对于SVD针对的是两个物理时空场，而EOF是一个物理时空场，如m表现空间点，n表现时间点，那么
利用盘算得到的奇特向量和对应的时间系数可以恢复原来的数据，这里 X X X表现原始数据，即
X = U T X = UT X=UT
那么，同样的道理，根据原始数据和奇特向量也可以用来得到对应的时间序列，即
T = U T X T=U^TX T=UTX
SVD在情形海洋中的应用
在实际利用SVD分解在情形海洋数据时，步调相对上述的盘算有完善一点，具体为：
1、数据的预处理，必要输入两个距平变量场或者标准化变量场的交叉协方差矩阵A
2、盘算A矩阵的左奇特向量U，即主成分模态，列向量对应EOF空间模态
3、盘算A矩阵的右奇特向量V
4、根据左变量场及左奇特向量盘算时间系数矩阵，即 P C = U X PC=U^X PC=UX，这里 X X X表现原始场
5、盘算每对奇特向量的方程贡献和累计方差贡献
6、显著性查验
SVD的物理意义
SVD在情形、海洋实际应用中每每是对两个物理量场做分解的。其原理是要求两个场的展开系数的协方差最大。比如对某海域的海表温度(SST)和海表气压(SLP)做SVD分析，是为了提取出这两个变量之间相互耦合(协方差矩阵)的最重要的空间模态和时间演变信息。
此中的空间模态就是SVD得到的奇特向量(左右奇特向量分别对应SST和SLP)，它们有各自的时间系数表征了时间演变特征。注意SVD方法输入的两个变量场的空间点数可以不类似(m1, m2)，但是两个变量的时间长度必须类似(n)
python中的svd分解
在python中，不仅numpy提供了svd函数，scipy也提供了可调用的函数：scipy.linalg.svd和scipy.sparse.linalg.svds.
以上scipy提高的函数中，当输入矩阵是麋集矩阵且必要所有奇特值时，第一种方法通常更有效。而当输入矩阵 X 是稀疏矩阵或只必要最大奇特值时，第二种方法通常非常有效。
而scipy.linalg.svd快速的原因是以分配大量内存用于临时盘算为代价，随维数的增加而变化。
应用个例
对于热带垂直速度 ω \omega ω，可以通过svd将别的被分解为履历垂直结构函数（EOF）及其干系的主成分（PC），代表空间和时间变率。
此中，第一模态和第二模态分别可以表现第一斜压和第二斜压模，第一斜压模态与深对流云有关，第二斜压模态与层状云有关。
参考
- https://mp.weixin.qq.com/s/SBwRI1vg3h-wqjphMsHbGA
- https://numpy.org/doc/2.2/reference/generated/numpy.linalg.svd.html
- https://fa.bianp.net/blog/2012/singular-value-decomposition-in-scipy/
- https://github.com/longhongc/SVD-python-implementation
- https://pyoceans.github.io/sea-py/
- https://github.com/mathildejutras/mtm-svd-python/tree/master
- 上课课件
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