矩阵论-第三章：矩阵的尺度型

1.哈密顿-凯莱定理

界说：每个 n 阶矩阵都是它的特性多项式的根
特性多项式：f(A) = |…|=…，λ 为特性值

2. 简化运算

又由于哈密顿-凯莱定理可知，f(A) = 0，以是化简后便是 r(A)

3.例题-简化矩阵盘算

界说： 当你看到须要盘算一个很长的公式的时间，你就可以往哈密顿-凯莱定理+简化盘算上思索。
方法：

• 使用求特性值的方法|…|得到形如 f(A) = A… 的方程。
  
• 然后将长的盘算公式假设为 φ(A)，然后除以 f(A)，得到余项，而 f(A) 本身就便是 0 ，以是 φ(A) ＝ 余项
  
  
  
  第二问求A逆
  方法： 第二问所求的 A-1，应该是一个包罗 A 和 E 的表达式，我们可以使用求秩的表达式求解。——>将单独 E 想办法转到右边，A 举行提出，就可以大概很快速地求解 A-1 了
  
  
  
  第三问：求较长盘算式的逆
  方法： 较长盘算式一样平常便是余项，相称于求余项的逆，将余项往 |…| 公式里去凑即可**【凑+哈密顿-凯莱定理即可】**
  
  
  
  

4.最小多项式

概念上： 分为特性多项式（f(A)=|…|=…）、零化多项式、最小多项式；最小多项式相称于在零化多项式的根本至少，加了一个首项系数为1的条件。
特点上： 特性多项式和最小多项式的根完全一样，以是要找到最小多项式，起首得找到特性多项式，然后再加上一个条件即可。

5.例题-求最小多项式

从特性多项式——>最小多项式的关键：将矩阵代入多项式后，验证多项式的值是否为 0，为0，则证实满意最小多项式
怎样验证是否为0 ？——> 将矩阵 A 和 E 代入到多项式中，如：(入-2)(入-4) ——>(A-2E)(A-4E)

6.Jordan 尺度型

1.入矩阵：矩阵A的全部元素都是入的多项式：

2.行列式因子：
界说： A(入)矩阵为入矩阵，此中全部非零的 K 阶子式：| … |、| … |、| . | （值不为0的子式），此中首项系数为1，最大公因式为0的子式，为A的一个K阶行列式因子

3.低级因子：
就是将稳定因子分解为互不类似的两个因子乘积，如：

4.Jordan尺度型的界说：

• 约旦块与低级因子干系，而低级因子是由稳定因子分解得来的，而稳定因子是由行列式因子得来的，末了行列式因子和A(入)干系。
  
• 注意，约旦尺度型的构成与多少个约旦块有关，而约旦块的构造与多少个低级因子有关
  
  
  
  5.求解约旦尺度型的方法：行列式因子法（使用低级因子）
  
  
  
  

7.例题：求解Jordan尺度型

使用行列式因子求 Jordan 尺度型
关键：

• 求行列式因子，分为 K…k-1…1 阶行列式因子，如图所示
  
• 子式的行列式因子有很多，此中最大公因子为其行列式因子
  
• 行列式因子相除为稳定因子
  
• 初等因子为为1因子
  
  
  
  求得二阶行列式因子 D2
  
  
  
  求得一阶行列式因子 D1 （即求得一阶行列式的最大公因子 D3）
  
  
  
  此时已知三阶行列式因子、二阶行列式因子、一阶行列式因子，即可求得稳定因子：
  
  
  
  然后使用稳定因子拆分为低级因子：
  
  
  
  使用低级因子求得尺度型：
  （入-k），尺度型内里的值即为k
  
  
  
  思绪：
  K阶行列式因子D1、D2、D3——>稳定因子d1=D1，d2=D2/D1，d3=D3/D2——>低级因子【(入-k)^0不看，只需看非1的因子】
  注：低级因子为（入-k）^n代表n阶，内里的值为k，然后须要给上一层补上1，然后组合起来
  

8.史密斯Smith 尺度型

史密斯尺度型的中心元素就是稳定因子
知识点：

• 恣意一个非零多项式矩阵 A 都可以颠末初等变更化为 Smith 尺度型
  
• 详细步调：确定矩阵左上角第一个元素 d1=D1 为一阶行列式因子——>然后将 d1 地点的行和列的其他元素消为 0 得到新矩阵 B1(入)——>将左上角作为 d2 ,重复反复
  
  
  
  

9.例子：Smith尺度型

感觉Smith尺度型就是考研内里求尺度型不停消一层一层的别的元素，对角线元素就为秩

不停消去对角线的别的元素

例10：用史密斯尺度型的方法求解约旦尺度型

梳理一下思绪： 起首求得(入E-A)的史密斯尺度型，对角线内容为稳定因子——>然后我们可以根据稳定因子求得低级因子——>低级因子作为约旦块——>团结起来即可得到 Jordan 尺度型
例题：
1.起首入E-A，颠末初等行变更得到 Smith 尺度型
2.Smith 尺度型的中心元素都是稳定因子，然后将这些稳定因子转为低级因子，根据这些低级因子写出约旦尺度型

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