笔者语：
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条记整理风格：全面、幽默，加以大模子提示的文案和先容，适当做知识被恒久忘记后的重新学习
测验轻巧版条记可参考：李宏毅线性代数条记7 子空间_向量空间的子空间满意的条件-CSDN博客
李老师原版PPT：https://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses/LA_2018/Lecture/space%20(v2).pdf
0.subspace引入
《庄子·齐物论》中的头脑与线性代数中的子空间概念之间存在异曲同工之妙。以下将具体叙述这两者的相似之处：
- 相对性：《齐物论》夸大万物之间的相对性，以为凡间万物的区分是相对的，没有绝对的尺度。在线性代数中，子空间的概念也体现了这种相对性。一个向量空间可以有多个差异的子空间，这些子空间相对于整个向量空间来说是“小”的，但它们自己也是完备的向量空间，具有自己的布局和性子。同样，差异的子空间之间也可以相互比力和转换，没有绝对的优劣之分。
- 包罗关系：《齐物论》中提到“天地与我并生，而万物与我为一”，表达了一种万物包罗于宇宙之中的头脑。在线性代数中，子空间也有雷同的包罗关系。一个向量空间可以包罗多个子空间，这些子空间是原向量空间的一部分，但它们具有自己独特的性子和布局。同时，差异的子空间之间也可以相互嵌套和包罗，形成复杂的条理布局。
- 变动稳定性：《齐物论》以为万物在本质上是雷同的，即“道”的状态。在线性代数中，子空间也具有这种变动稳定性。对于给定的一组基向量，可以通过线性组合得到该子空间中的恣意向量。这种线性组合的过程就是对基向量举行变动的过程，但无论怎么变动，得到的向量仍旧属于同一个子空间。这体现了子空间在变动下的稳定性。
- 多样性与同一性：《齐物论》以为万物固然千差万别，但在本质上是同一的。在线性代数中，子空间也体现了这种多样性与同一性。差异的子空间具有差异的性子和布局，但它们都是在同一个向量空间下的分别和形貌。这种多样性与同一性的联合使得线性代数成为一个既丰富又有序的数学分支。
综上所述，《庄子·齐物论》与线性代数中的子空间概念在相对性、包罗关系、变动稳定性以及多样性与同一性等方面存在异曲同工之妙。这种相似性不但体现了哲学与数学之间的深刻接洽，也为我们明确天下提供了新的视角和思绪。
1.subspace的界说
满意以下三个条件的向量集V称为子空间：
- 零向量属于V
- 如果向量u和向量w属于V，那么向量u+w属于V
- 如果向量u属于V，而且c是一个标量，那么向量cu属于V
→ 条件1分析：
→ 条件2+条件3恰好是线性组合的两种方式
判断以下vector set是否是Subspace?
Subspace v.s. Span
Span——由这些向量线性组合张成的空间
线性代数中的span操纵指的是由一组向量通过线性组合所天生的空间。
在线性代数中，span是一个核心概念，它指的是一组向量的全部线性组合所构成的聚集。简单来说，如果一个向量聚集为{v1, v2, ..., vn}，那么这个聚集的span就是这些向量的全部大概组合。比方，在二维空间中，任何向量都可以表现为两个基向量的线性组合，这两个基向量的span就是整个二维空间。
具体来说，span列向量是矩阵中全部的列span成的空间。S为不停量空间V（附于体F）的子聚集。全部S的线性组合构成的聚集，称为S所张成的空间，记作Span(S)。情势化地说，设向量聚集V={v1, v2, ..., vn}，此中每个向量vi都属于n维向量空间R^n。那么V的span记为Span(V)，它包罗全部满意以下情势的向量：Span(V) = {a1v1 + a2v2 + ... + an*vn | a1, a2, ..., an ∈ R}，此中a1, a2, ..., an是实数，表现向量v1, v2, ..., vn的系数。
2.Null Space 零空间
齐次线性方程组Ax=0的全部解构成的subspace称为Null Space.
零空间的free variable，也就是可变的（自由）变量。
dim(Null A)=自由变量个数=n-number of pivot columns=n-rank(A)
3.Column Space and Row Space 列空间与行空间
列空间就是一个矩阵全部列的span 的聚集，因此，列空间也就是矩阵（函数）的值域的聚集。
Row A=Col ：可以把行空间翻转酿成列空间
Av 每一列乘以v对应的数值作为权重，线性求和
Column Space = Range 列空间=值域
矩阵的Range是由矩阵列向量的全部线性组合构成的空间。
4.RREF 简化行梯阵型矩阵
RREF是简化行梯阵型矩阵，即reduced row echelon form的缩写。
RREF是一种通过初等行变动得到的矩阵情势，它要求每一行的首个非零元素（称为leading entry）为1，而且这个元素地点列的其他全部元素都为0。这种情势使得线性方程组的解可以直接从矩阵中读出，由于每个leading entry对应的变量可以直接被设置为该值，而其他变量则可以通过回代求解。
在数学和工程范畴，RREF常用于办理线性方程组、盘算矩阵的秩、探求向量空间的基以及办理线性规划题目等。它是线性代数中一个告急的工具，由于它提供了一种体系的方法来处理处罚和分析线性方程组和矩阵。
dim(col A)=number of pivot columns=rank A
5.Consistent 同等性
6.Conclusion: Subspace is Closed under addition and multiplication
讲堂末了，老师必须玩一下抽象哈哈哈~
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发表于 2025-12-8 10:26:49