数学底子 --线性代数之正交多项式

正交多项式

1. 正交多项式的界说

正交多项式是在给定的权函数和界说域下，两个差别多项式的内积为零的一组多项式。设有权函数 w(x)w(x)w(x) 和界说域 [a,b][a, b][a,b]，对于一组多项式 {p0(x),p1(x),p2(x),… }\{p_0(x), p_1(x), p_2(x), \dots\}{p0​(x),p1​(x),p2​(x),…}，假如满意以下正交条件：
∫abpm(x)pn(x)w(x) dx=0(m≠n)\int_{a}^{b} p_m(x) p_n(x) w(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n)∫ab​pm​(x)pn​(x)w(x)dx=0(m=n)
则称这组多项式是相对于权函数 w(x)w(x)w(x) 在区间 [a,b][a, b][a,b] 上的正交多项式。
2. 常见的正交多项式

2.1 勒让德多项式（Legendre Polynomial）

• 界说域：[−1,1][-1, 1][−1,1]
  
• 权函数：w(x)=1w(x) = 1w(x)=1
  
• 递推关系：
  P0(x)=1,P1(x)=x,(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x)P_0(x) = 1, \quad P_1(x) = x, \quad (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)P0​(x)=1,P1​(x)=x,(n+1)Pn+1​(x)=(2n+1)xPn​(x)−nPn−1​(x)
  

2.2 切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomial）

• 界说域：[−1,1][-1, 1][−1,1]
  
• 权函数：w(x)=11−x2w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}w(x)=1−x2​1​
  
• 递推关系：
  T0(x)=1,T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x)T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x, \quad T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)T0​(x)=1,T1​(x)=x,Tn+1​(x)=2xTn​(x)−Tn−1​(x)
  

2.3 拉盖尔多项式（Laguerre Polynomial）

• 界说域：[0,∞][0, \infty][0,∞]
  
• 权函数：w(x)=e−xw(x) = e^{-x}w(x)=e−x
  
• 递推关系：
  L0(x)=1,L1(x)=1−x,(n+1)Ln+1(x)=(2n+1−x)Ln(x)−nLn−1(x)L_0(x) = 1, \quad L_1(x) = 1 - x, \quad (n+1)L_{n+1}(x) = (2n+1-x)L_n(x) - nL_{n-1}(x)L0​(x)=1,L1​(x)=1−x,(n+1)Ln+1​(x)=(2n+1−x)Ln​(x)−nLn−1​(x)
  

2.4 埃尔米特多项式（Hermite Polynomial）

• 界说域：(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞)
  
• 权函数：w(x)=e−x2w(x) = e^{-x^2}w(x)=e−x2
  
• 递推关系：
  H0(x)=1,H1(x)=2x,Hn+1(x)=2xHn(x)−2nHn−1(x)H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{n+1}(x) = 2xH_n(x) - 2nH_{n-1}(x)H0​(x)=1,H1​(x)=2x,Hn+1​(x)=2xHn​(x)−2nHn−1​(x)
  

3. 高斯-勒让德积分的利用案例

配景

我们必要盘算定积分：
I=∫−11f(x) dxI = \int_{-1}^{1} f(x) \, dxI=∫−11​f(x)dx
高斯-勒让德积分方法通过正交多项式的根和权重来近似盘算定积分。
步调

• 确定勒让德多项式的根：利用 nnn 阶的勒让德多项式 Pn(x)P_n(x)Pn​(x)，它有 nnn 个根，记为 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1​,x2​,…,xn​。
  
• 确定权重 wiw_iwi​：对于每个根 xix_ixi​，我们可以盘算对应的权重 wiw_iwi​。
  
• 近似积分：通过根和权重盘算积分的近似值：
  I≈∑i=1nwif(xi)I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)I≈i=1∑n​wi​f(xi​)
  

详细例子：利用 2 阶勒让德多项式

假设我们要盘算以下积分：
I=∫−11(x2+1) dxI = \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) \, dxI=∫−11​(x2+1)dx

• 勒让德多项式的根：2 阶勒让德多项式 P2(x)=12(3x2−1)P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)P2​(x)=21​(3x2−1)，其根为 x1=−13,x2=13x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}x1​=−3​1​,x2​=3​1​。
  
• 权重：对应的权重 w1=w2=1w_1 = w_2 = 1w1​=w2​=1。
  
• 函数值：
  f(−13)=43,f(13)=43f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3}, \quad f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3}f(−3​1​)=34​,f(3​1​)=34​
  
• 盘算积分：
  I≈43+43=83I \approx \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}I≈34​+34​=38​
  

正确积分验证

通过直接积分：
I=∫−11(x2+1) dx=83I = \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \frac{8}{3}I=∫−11​(x2+1)dx=38​
可以看到，高斯-勒让德积分与正确积分的结果同等。
4. 时间与空间复杂度优化

时间复杂度

• 传统数值积分方法：如梯形法和辛普森法的时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)，必要大量采样点来进步精度。
  
• 高斯-勒让德积分：同样的时间复杂度 O(n)O(n)O(n)，但由于采取正交多项式的根作为积分点，通常必要的积分点较少，盘算服从更高。
  

空间复杂度

• 传统方法：必要存储全部采样点和函数值，空间复杂度为 O(n)O(n)O(n)。
  
• 高斯积分：仅需存储少量的根和权重，镌汰了存储需求，空间复杂度仍为 O(n)O(n)O(n)，但现实内存斲丧较低。
  

优化结果总结

高斯-勒让德积分通过镌汰积分点的数量，低沉了函数调用次数和存储需求，在时间和空间复杂度上都优于传统方法。

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