面试经典算法150题系列-除自身以外数组的乘积

除自身以外数组的乘积

给你一个整数数组 nums，返回 数组 answer ，其中 answer 等于 nums 中除 nums 之外其余各元素的乘积 。
标题数据 保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在  32 位 整数范围内。
请 不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

示例 1:

1. <strong>输入:</strong> nums = [1,2,3,4]
3. <strong>输出:</strong> [24,12,8,6]

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示例 2:

1. <strong>输入:</strong> nums = [-1,1,0,-3,3]
2. <strong>输出:</strong> [0,0,9,0,0]

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实现思路：

这个题目可以通过预先盘算数组的前缀和后缀乘积来解决。由于不能使用除法，我们可以创建两个数组，一个用于存储每个元素之前全部元素的乘积（前缀乘积），另一个用于存储每个元素之后全部元素的乘积（后缀乘积）。然后，对于数组中的每个元素，我们可以将其对应的前缀乘积和后缀乘积相乘，得到除了该元素之外其他全部元素的乘积（不知道前缀乘积和后缀乘积的朋友别畏惧，后面有补充）。
实当代码：

1.     // 这是一个公共方法，用于返回一个新数组，其中每个元素
2.      // 是原数组中除了该元素之外其他所有元素的乘积。
3.     public  int[] productExceptSelf(int[] nums) {
4.         // 获取输入数组的长度。
5.         int length = nums.length;
6.         // 初始化一个长度与输入数组相同的答案数组，初始值设为1。
7.         int[] answer = new int[length];
8.         // 初始化前缀乘积数组，所有元素初始值设为1。
9.         int[] prefix = new int[length];
10.         // 初始化后缀乘积数组，所有元素初始值也设为1。
11.         int[] suffix = new int[length];
13.         // 计算前缀乘积数组。
14.         // 从第二个元素开始，每个元素是前一个元素与当前元素的乘积。
15.         prefix[0] = 1;
16.         for (int i = 1; i < length; i++) {
17.             prefix[i] = prefix[i - 1] * nums[i - 1];
18.         }
20.         // 计算后缀乘积数组。
21.         // 从最后一个元素开始，每个元素是后一个元素与当前元素的乘积。
22.         suffix[length - 1] = 1;
23.         for (int i = length - 2; i >= 0; i--) {
24.             suffix[i] = suffix[i + 1] * nums[i + 1];
25.         }
27.         // 计算答案数组。
28.         // 对于每个索引i，答案数组的元素是前缀数组的元素与后缀数组的元素的乘积。
29.         for (int i = 0; i < length; i++) {
30.             answer[i] = prefix[i] * suffix[i];
31.         }
33.         // 返回计算好的答案数组。
34.         return answer;
35.     }
38.     }

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好的，让我们通过一个具体的例子来演绎上述Java代码的执行过程。假设我们有以下输入数组：
int[] nums = {1, 2, 3, 4};
下面是代码执行的步调：

• 初始化数组：
  
  
  
  • answer、prefix 和 suffix 数组都被初始化为长度与 nums 相同的数组，全部元素初始值为1。
    
  
  
• 盘算前缀乘积 (prefix 数组)：
  
  
  
  • 从索引1开始（因为索引0已经初始化为1），每个元素是前一个元素与 nums 中相应元素的乘积。
    1.             prefix[0] = 1,
    2.             prefix[1]=prefix[0] * nums[0]=1 * 1= 1, 
    3.             prefix[2]=prefix[1] * nums[1]=1 * 2= 2,
    4.             prefix[3]=prefix[2]  * nums[2]=2 * 3=6

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  • 执行完循环后，prefix 数组为：[1, 1, 2, 6] 
    
  
  
• 盘算后缀乘积 (suffix 数组)：
  
  
  
  • 从索引 length - 2 开始逆序遍历（因为索引 length - 1 已经初始化为1），每个元素是后一个元素与 nums 中相应元素的乘积。
    1. suffix[3]=1,
    2. suffix[2]=suffix[3]*nums[3] = 1 *4 =4，
    3. suffix[1]=suffix[2]*nums[2] = 4 *3 =12，
    4. suffix[0]=suffix[1]*nums[1] = 12 *2 =24

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  • 执行完循环后，suffix 数组为：[24, 12, 4, 1]。
    
  
  
• 盘算答案数组 (answer 数组)：
  
  
  
  • 对于 nums 中的每个元素，answer 数组的元素是 prefix 数组与 suffix 数组对应元素的乘积。
    
  • 以 nums[1] 为例，prefix[1] 是 1（因为 nums[0] 是1），suffix[1] 是 12，所以 answer[1] 是 1 * 12 = 12。
    
  • 执行完循环后，answer 数组为：[24, 12, 8, 6]。
    
  
  
• 返回效果：
  answer 数组包含了输入数组 nums 中每个元素对应的乘积，不包含它们自己。
  

通过这个演绎过程，你们熟悉了吗？这个方法在O(n)时间复杂度内解决了题目，而且只使用了O(n)的额外空间。




知识补充：前缀数组（前缀乘积）与后缀数组（后缀乘积）

前缀数组和后缀数组的原理基于累积乘积的概念，它们用于快速盘算数组中元素的连续子集的乘积。下面是这两个概念的具体解释：
前缀数组（Prefix Array）

前缀数组是一个与原数组等长的数组，其中第 i 个元素包含从数组开始到第 i-1 个元素的乘积（如果存在的话）。换句话说，前缀数组的第 i 个元素是原数组从索引 0 到 i-1 的全部元素的乘积。
比方： 假设有一个数组 nums = [a1, a2, a3, ..., an]，前缀数组 prefix 将是这样的：

• prefix[0] = 1（因为没有元素乘以 a1）
  
• prefix[1] = a1
  
• prefix[2] = a1 * a2
  
• ...
  
• prefix = a1 * a2 * ... * ai-1
  

后缀数组（Suffix Array）

与前缀数组相对应，后缀数组包含从数组末端开始到第 i+1 个元素的乘积。后缀数组的第 i 个元素是原数组从索引 i+1 到末端的全部元素的乘积。
比方： 对于相同的数组 nums = [a1, a2, a3, ..., an]，后缀数组 suffix 将是这样的：

• suffix[n-1] = 1（因为没有元素乘以 an）
  
• suffix[n-2] = an
  
• suffix[n-3] = an * an-1
  
• ...
  
• suffix = an * an-1 * ... * ai+1
  

原理

前缀和后缀数组的原理基于这样一个究竟：对于数组中的任意元素 nums，要盘算除了 nums 之外全部元素的乘积，可以将其前缀乘积（到 i-1 的乘积）和后缀乘积（从 i+1 到末端的乘积）相乘。这样，nums 项就不会出现在乘积中，因为它既不会被前缀也不会被后缀数组包含。
盘算示例： 假设 nums = [3, 2, 4]，我们有：

• prefix = [1, 3, 6]
  
• suffix = [8, 4, 1]
  

对于 nums[1]（值为2），除了它之外的乘积是 prefix[1] * suffix[1] = 3 * 4 = 12。
这种方法的优势在于，它答应我们在O(1)时间内盘算出任意元素的非自身元素乘积，而不需要对数组举行多次遍历或使用除法。这在处理大数据集或需要避免除法操纵的场景中特别有用。

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