代码随想录Day 32|leetcode题目：501.斐波那契数、70.爬楼梯、746.使用最小 ...

提示：DDU，供自己复习使用。接待各人前来讨论~

   
  

---

动态规划理论根本

开始动态规划算法
一、理论根本

1.1 什么是动态规划

​ 动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一题目有很多重叠子题目，使用动态规划是最有效的。
​ 所以动态规划中每一个状态肯定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的
1.2 动态规划的解题步骤

对于动态规划题目，将拆解为如下五步曲，这五步都搞清晰了，才气说把动态规划真的把握了！

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  
• 确定递推公式
  
• dp数组怎样初始化
  
• 确定遍历序次
  
• 举例推导dp数组
  

1.3 动态规划应该怎样debug

找题目标最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！
做动规的题目，写代码之前肯定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，胸有定见，确定最后推出的是想要的效果。
二、题目

题目一： 509. 斐波那契数

509. 斐波那契数
解题思路：

动态规划

动规五部曲：
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的效果

• 确定dp数组以及下标的含义
  

dp的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp

• 确定递推公式
  
• dp数组怎样初始化
  

1. int n = 4;
2. for (int i = 1; i <= n; i++) {
3.     for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
4.         cout << i << " " << j << endl;
5.     }
6. }

复制代码

• 确定遍历序次
  

从递归公式dp = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的序次肯定是从前到后遍历的

• 举例推导dp数组
  

按照这个递推公式dp = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时间，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现效果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下

1. class Solution {
2. public:
3.     int fib(int N) {
4.         if (N <= 1) return N;
5.         vector<int> dp(N + 1);
6.         dp[0] = 0;
7.         dp[1] = 1;
8.         for (int i = 2; i <= N; i++) {
9.             dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
10.         }
11.         return dp[N];
12.     }
13. };

复制代码

• 时间复杂度：O(n)
  
• 空间复杂度：O(n)
  

我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
代码如下：

1. class Solution {
2. public:
3.     int fib(int N) {
4.         if (N <= 1) return N;
5.         int dp[2];
6.         dp[0] = 0;
7.         dp[1] = 1;
8.         for (int i = 2; i <= N; i++) {
9.             int sum = dp[0] + dp[1];
10.             dp[0] = dp[1];
11.             dp[1] = sum;
12.         }
13.         return dp[1];
14.     }
15. };

复制代码

• 时间复杂度：O(n)
  
• 空间复杂度：O(1)
  

递归解法

• 递归函数的返回值以及参数
  

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一效果，一个用来存放符合条件效果的集合。

1. class Solution {
2. public:
3.     int fib(int N) {
4.         if (N < 2) return N;
5.         return fib(N - 1) + fib(N - 2);
6.     }
7. };

复制代码

• 时间复杂度：O(2^n)
  
• 空间复杂度：O(n)，算上了编程语言中实现递归的体系栈所占空间
  

题目二：70. 爬楼梯

70. 爬楼梯
解题思路：

本题如果没有打仗过的话，会感觉比较难，多举几个例子，就可以发现其规律。
爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。
那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。
动规五部曲：

• 确定dp数组以及下标的含义
  

dp： 爬到第i层楼梯，有dp种方法

• 确定递推公式
  

dp = dp[i - 1] + dp[i - 2]

• dp数组怎样初始化
  
• 确定遍历序次
  

从递推公式dp = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历序次肯定是从前向后遍历的

• 举例推导dp数组
  

举例当n为5的时间，dp table（dp数组）应该是这样的

1. // 版本一
2. class Solution {
3. public:
4.     int climbStairs(int n) {
5.         if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
6.         vector<int> dp(n + 1);
7.         dp[1] = 1;
8.         dp[2] = 2;
9.         for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
10.             dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
11.         }
12.         return dp[n];
13.     }
14. };

复制代码

• 时间复杂度：                                        O                            (                            n                            )                                  O(n)                     O(n)
  
• 空间复杂度：                                        O                            (                            n                            )                                  O(n)                     O(n)
  

优化一下空间复杂度，代码如下：

1. // 版本二
2. class Solution {
3. public:
4.     int climbStairs(int n) {
5.         if (n <= 1) return n;
6.         int dp[3];
7.         dp[1] = 1;
8.         dp[2] = 2;
9.         for (int i = 3; i <= n; i++) {
10.             int sum = dp[1] + dp[2];
11.             dp[1] = dp[2];
12.             dp[2] = sum;
13.         }
14.         return dp[2];
15.     }
16. };

复制代码

• 时间复杂度：                                        O                            (                            n                            )                                  O(n)                     O(n)
  
• 空间复杂度：                                        O                            (                            1                            )                                  O(1)                     O(1)
  

题目三： 746. 使用最小泯灭爬楼梯

746. 使用最小泯灭爬楼梯
解题思路

• 定义dp数组：
  
  
  
  • dp 表现到达第 i 个台阶所需的最少体力。
    
  
  
• 建立递推关系：
  
  
  
  • 每个台阶 i 可以从台阶 i-1 或 i-2 跳上来。
    
  • dp = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])。
    
  
  
• 初始化dp数组：
  
  
  
  • dp[0] 和 dp[1] 都初始化为 0，因为到达第一个台阶不需要体力。
    
  
  
• 确定遍历序次：
  
  
  
  • 从第一个台阶开始，逐个计算每个台阶的 dp 值。
    
  
  
• 举例说明：
  
  
  
  • 通过一个具体的例子（如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]），展示 dp 数组怎样渐渐构建。
    
  具体的效果如下图所示：
  
  

1. class Solution {
2. public:
3.     int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
4.         vector<int> dp(cost.size() + 1);
5.         dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
6.         dp[1] = 0;
7.         for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
8.             dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
9.         }
10.         return dp[cost.size()];
11.     }
12. };

复制代码

• 时间复杂度：O(n)
  
• 空间复杂度：O(n)
  

还可以优化空间复杂度，因为dp就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了，C++代码如下：

1. // 版本二
2. class Solution {
3. public:
4.     int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
5.         int dp0 = 0;
6.         int dp1 = 0;
7.         for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
8.             int dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
9.             dp0 = dp1; // 记录一下前两位
10.             dp1 = dpi;
11.         }
12.         return dp1;
13.     }
14. };

复制代码

• 时间复杂度：O(n)
  
• 空间复杂度：O(1)
  

---

总结

• 动态规划五部曲：动态规划数组和下标的定义，递归公式，动态数组的初始化，确定遍历序次，推导数组。
  
• 动态规划的一些技巧，能维护变量就不要维护数组。
  

免责声明：如果侵犯了您的权益，请联系站长，我们会及时删除侵权内容，谢谢合作！更多信息从访问主页：qidao123.com:ToB企服之家，中国第一个企服评测及商务社交产业平台。