论坛 › 鸿蒙 › 数学知识整理：二重积分

篮之新喜 发表于 2022-6-25 10:05:38

数学知识整理：二重积分

1 二重积分的性质

1.1 f(x,y)在有界闭区域上可积的充分条件&必要条件



[*]在有界闭区域D上可积的函数f(x,y)必然是D上的有界函数
[*]有界闭区域D上的连续函数或者分片连续函数f(x,y)在D上可积
1.2 线性性质https://img-blog.csdnimg.cn/c28de8ccb560481ca726fa09eb19e23b.png

https://img-blog.csdnimg.cn/1c39145cc8b24b33b5f5275677fbf03f.png
1.3 积分区域可加https://img-blog.csdnimg.cn/066282fb2e55453aad75a261d2356c58.png

（换言之，区域D被一条曲线分成两个部分区域D1和D2）
1.4 积分不等式

https://img-blog.csdnimg.cn/11f502bc06014f5bb80cf3304e0a9e79.png
1.5 中值定理

如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，那么在D上至少存在一点https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_0%2Cy_0%29，使得https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_Df%28x%2Cy%29dxdy%3Df%28x_0%2Cy_0%29%5Ccdot%5Csigma，其中σ为区域D的面积
2 二重积分的计算方法

二重积分的计算总是化成累次积分来进行，也就是做一次定积分，再做一次定积分来进行计算。
https://img-blog.csdnimg.cn/3d2c9f0d10914c51a9ff0ba3edf54bdb.png
 https://img-blog.csdnimg.cn/7bd6390c2c4541fab18d9923c45b6e5e.png
2.1 按区域和形状分类

 https://img-blog.csdnimg.cn/7fb7c5a0a089431897896059cc7ac4d6.png


2.2 二重积分简化计算



[*]当区域D关于x轴对称时

[*]·https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_Df%28x%2Cy%29dxdy%3D0 ,f(x,y)是奇函数
[*]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_%7BD%7Df%28x%2Cy%29dxdy%3D2%5Ciint_%7BD_1%7Df%28x%2Cy%29dxdy，f(x,y)是偶函数，且D1是D的上半平面或者下半平面

[*]当区域D关于y轴对称时

[*]·https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_Df%28x%2Cy%29dxdy%3D0 ,f(x,y)是奇函数
[*]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_%7BD%7Df%28x%2Cy%29dxdy%3D2%5Ciint_%7BD_1%7Df%28x%2Cy%29dxdy，f(x,y)是偶函数，且D1是D的左半平面或者右半平面

[*]当区域D关于x轴，y轴都对称时

[*] ·https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_Df%28x%2Cy%29dxdy%3D0 ,f(x,y)是奇函数
[*]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_%7BD%7Df%28x%2Cy%29dxdy%3D4%5Ciint_%7BD_1%7Df%28x%2Cy%29dxdy，f(x,y)是偶函数，且D1是D在任一象限中的部分

1.2.3 举例

https://img-blog.csdnimg.cn/ffd9188d9f8c4b6cadc8d69dde81aa06.png
 https://img-blog.csdnimg.cn/a95d07db7f1f4c6bb9cf425d692752c5.png
 https://img-blog.csdnimg.cn/3ba09b9d7cfd48ffbd69791b3cc780ba.png
3 二重积分极坐标二重积分

https://img-blog.csdnimg.cn/37e564d5cf974b88900a28b36456dedb.png
 
https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_D%20f%28x%2Cy%29%20d%5Csigma%3D%5Ciint_D%20f%28rcos%5Ctheta%2C%20rsin%5Ctheta%29rdrd%5Ctheta
https://img-blog.csdnimg.cn/0b76fdc1a6f143b58b3bfb7756b3ad8c.png


[*]对于左边的情况，https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_D%20F%28r%2C%5Ctheta%29%20drd%5Ctheta%3D%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%5Cbeta%20d%5Ctheta%20%5Cint_%7Br_1%28%5Ctheta%29%7D%5E%7Br_2%28%5Ctheta%29%7D%20F%28r%2C%5Ctheta%29dr 
[*]对于右边的情况，https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_D%20F%28r%2C%5Ctheta%29%20drd%5Ctheta%3D%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%5Cbeta%20d%5Ctheta%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Br%28%5Ctheta%29%7D%20F%28r%2C%5Ctheta%29dr
3.1 举例

https://img-blog.csdnimg.cn/8fc56c266a4a49b9a3c662ba79f91ded.png
https://img-blog.csdnimg.cn/15be5124a3814ab78835c7fa7cad3ace.png

 https://img-blog.csdnimg.cn/54875453c0d24b33af1ed09976be5445.png
 4  二重积分的换元

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，如果变换https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%3Dx%28u%2Cv%29%5C%5C%20y%3Dy%28u%2Cv%29%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright. 满足以下三个条件


[*]将uv平面上区域D'一一对应到xy平面上的D
[*]变换函数x(u,v),y(u,v)在D'上连续，且有连续的一阶偏微商
[*]雅可比行列式https://latex.codecogs.com/gif.latex?J%28u%2Cv%29%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%20%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%20%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%20%5Cend%7Bvmatrix%7D 在D'上不取零值
则有换元公式https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ciint_Dd%28x%2Cy%29d%5Csigma%3D%5Ciint_Df%28x%28u%2Cv%29%2Cy%28u%2Cv%29%29%7CJ%28u%2Cv%29%7Cdudv
注：可以证明上述三个条件可以适当地放宽：对于（1）和（3），可以允许个别点/个别曲线上不满足；对于（2），可以允许分段连续
4.1 举例

求二重积分 https://latex.codecogs.com/gif.latex?I%3D%5Ciint_D%20xy%20d%5Csigma 其中区域D是由抛物线 https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%5E2%3Dx%2Cy%5E2%3D4x%2Cx%5E2%3Dy%2Cx%5E2%3D4y围成的

https://img-blog.csdnimg.cn/e4eccde9f0bc43e3a0877273673886fb.png
这里无论有那种次序的累次积分，都需要将D分成几块，比较繁琐。
不过如果我们把曲线边界表示为 https://img-blog.csdnimg.cn/b482311276224d37aa60b876afa3b523.png
时候，也就是进行变换https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20u%3D%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bx%7D%5C%5C%20v%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.时，可以迎刃而解。此时https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%3D%28uv%5E2%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%5C%20y%3D%28u%5E2v%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.
雅可比矩阵https://latex.codecogs.com/gif.latex?j%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Du%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7Dv%5E%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%26%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Du%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7Dv%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%5C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Du%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7Dv%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7D%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Du%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7Dv%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D
所以原式https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3D%5Ciint_D%28uv%5E2%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%28u%5E2v%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20dudv%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint_1%5E4%28%5Cint_1%5E4%20uv%20dv%29du%3D%5Cfrac%7B75%7D%7B4%7D



免责声明：如果侵犯了您的权益，请联系站长，我们会及时删除侵权内容，谢谢合作！

查看完整版本: 数学知识整理：二重积分