1 二重积分的性质
1.1 f(x,y)在有界闭区域上可积的充分条件&必要条件
- 在有界闭区域D上可积的函数f(x,y)必然是D上的有界函数
- 有界闭区域D上的连续函数或者分片连续函数f(x,y)在D上可积
1.2 线性性质
1.3 积分区域可加
（换言之，区域D被一条曲线分成两个部分区域D1和D2）
1.4 积分不等式
1.5 中值定理
如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，那么在D上至少存在一点 ，使得 ，其中σ为区域D的面积
2 二重积分的计算方法
二重积分的计算总是化成累次积分来进行，也就是做一次定积分，再做一次定积分来进行计算。
2.1 按区域和形状分类
2.2 二重积分简化计算
- 当区域D关于x轴对称时
- ·
 ,f(x,y)是奇函数
 ，f(x,y)是偶函数，且D1是D的上半平面或者下半平面
- 当区域D关于y轴对称时
- · ,f(x,y)是奇函数
- ，f(x,y)是偶函数，且D1是D的左半平面或者右半平面
- 当区域D关于x轴，y轴都对称时
- · ,f(x,y)是奇函数
 ，f(x,y)是偶函数，且D1是D在任一象限中的部分
1.2.3 举例
3 二重积分极坐标二重积分
- 对于左边的情况，
- 对于右边的情况，
3.1 举例
4 二重积分的换元
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，如果变换 满足以下三个条件
- 将uv平面上区域D'一一对应到xy平面上的D
- 变换函数x(u,v),y(u,v)在D'上连续，且有连续的一阶偏微商
- 雅可比行列式
 在D'上不取零值
则有换元公式
注：可以证明上述三个条件可以适当地放宽：对于（1）和（3），可以允许个别点/个别曲线上不满足；对于（2），可以允许分段连续
4.1 举例
求二重积分  其中区域D是由抛物线  围成的
这里无论有那种次序的累次积分，都需要将D分成几块，比较繁琐。
不过如果我们把曲线边界表示为 
时候，也就是进行变换 时，可以迎刃而解。此时
雅可比矩阵
所以原式
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