雅可比行列式
定义和推导雅可比行列式，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。以下是雅可比式的推导过程：
二阶雅可比式的推导以二重积分中的极坐标变换为例，设 ：
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，则 x 和 y 的全微分分别为：
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可以将 dx 与 dy 视作基向量为 dr 与 d\theta 的两个向量。为了求这两个向量构成的平行四边形的面积，可以求其外积向量的模长。引入第三个基向量 dz 来表现垂直于 xoy 平面的方向，此时：
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由于
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，以是：
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这表明在极坐标变换下，面积元 dxdy 被雅可比行列式 r 所缩放。高阶雅可比式的推导对于一样寻常的 n 元函数
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其雅可比矩阵 J 是一个 n * n的矩阵，定义为：
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雅可比行列式就是这个矩阵的行列式。比方，对于从球坐标系到直角坐标系的变换，其雅可比矩阵为：
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其雅可比行列式为
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这表明在球坐标变换下，体积元 dxdydz 被雅可比行列式 r^2sinφ所缩放。
雅可比式的性子
1. 链式法则：若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微，则因变量对新变量连续可微，且雅可比行列式满意：
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这个公式答应我们将一个雅可比行列式转换成两个行列式的乘积。
2. 反函数的雅可比行列式：如果取 (u, v) = (x, y) ，则有：
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3. 对称性：从定义易知：
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