【线性代数】第2章 矩阵及其运算，矩阵的定义，矩阵的加法，矩阵的乘法（同
目次§1 矩阵
一、矩阵概念的引入
二、矩阵的定义
三、特殊的矩阵
同型矩阵与矩阵相等的概念
四、矩阵与线性变换
例
例
例
§2 矩阵的运算
例
一、矩阵的加法
二、数与矩阵相乘
例（续）
三、矩阵与矩阵相乘
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入
二、矩阵的定义
三、特殊的矩阵
四、矩阵与线性变换
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开发了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:https://i-blog.csdnimg.cn/direct/a870988e4d234811814b80ae35888fdd.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/1efe9bea3a29435fa822038cc45a9dd9.png
为了便于计算，把表中的√改成1，空缺地方填上0，就得到一个数表：https://i-blog.csdnimg.cn/direct/cfe63c834c5f4470a58fa5c12aa774a5.png
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
例 某工厂生产四种货品，它向三家市肆发送的货品数量可 用数表表示为：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/c089e5f96f03489e8b685ba2409a88c0.png
此中aij 表示工厂向第 i 家市肆 发送第 j 种货品的数量．
这四种货品的单价及单件重量也可列成数表：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/de598c6c66ef4f5cb83a38db2bac218b.png
此中bi 1 表示第 i 种货品的单价， bi 2 表示第 i 种货品的单件重量．
二、矩阵的定义
由 m×n 个数 https://i-blog.csdnimg.cn/direct/86e7c25479af45e4bb1377105720021e.png 排成的 m 行 n 列的数表
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/412ece2555f347b69a8b36b4246e9707.png
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． https://i-blog.csdnimg.cn/direct/c95ab44028ef4eb2911e9d721d8938fc.png
简记为https://i-blog.csdnimg.cn/direct/bcb116a8eddc48fdb00e8d05291a475a.png
m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.https://i-blog.csdnimg.cn/direct/3645b2b2ad77481d99485743f7a5c6a0.png
三、特殊的矩阵
1.行数与列数都即是 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An.
2.只有一行的矩阵https://i-blog.csdnimg.cn/direct/1bbc89d11e27483aab24cb6c7d0f2d6d.png称为行矩阵(或行向量) .
只有一列的矩阵 https://i-blog.csdnimg.cn/direct/b6c32e54d3f64fd7a104f0e1ee54aad1.png 称为列矩阵(或列向量) .
3.元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ecf077cdd57941f0a3870167c8ae6426.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/2bd1bc72d0c8450985df39298b2a9fe6.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/4a6d7820f99a475d89b5208caf609b4f.png
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/d2478680a40141bc8df192f0572746ac.png为同型矩阵.
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/18c212cd81dd48af89ddb1850ec697be.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/923e279b84034d1298f76df975b59751.png
注意：不同型的零矩阵是不相等的.
四、矩阵与线性变换
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/244082e8bea749a6ad8cbdd05c213da0.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/d6faf8ad388b4289bdc22223c9d34ee9.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/2ad42e7ad2844b3b8f982c1e4180aa66.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/04b2e4317bd34eeea051e2a40bc80073.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/0db7184fade144d18a9c51a4d761a3a1.png
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着逐一对应关系.
例
线性变换https://i-blog.csdnimg.cn/direct/eee03b95faf04d89a3f2035f9a151535.png称为恒等变换.
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ce93d9df92ae4a2c91ff57733b14ab56.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/51999c5b7de9432babb6d8f8b53bdf75.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/de5bc51734984ccb94fded7230a30469.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/bf02521980fd4c10a3b1291b4007da66.png单位阵 En
例
2阶方阵https://i-blog.csdnimg.cn/direct/6519735618c8427f90decddb1aff951d.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/85f9c9c3521f415abcc25c52dfcf8313.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/74f4b78695024131989b716000d4327f.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/d1acdd2005024d60be705cbfba0a31b7.png
例
2阶方阵 https://i-blog.csdnimg.cn/direct/3e42e3e82ec54d30bf4aea2ec4144552.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/37ee53bea70d4cc28ce680f77a257b1f.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/e21ae1905f984398a60f05efad80d086.png
以原点为中央逆时针 旋转j 角的旋变化换https://i-blog.csdnimg.cn/direct/08084406f9c241ceb412c6e12baae128.png
§2 矩阵的运算
例
某工厂生产四种货品，它在上半年和下半年向三家市肆 发送货品的数量可用数表表示：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/83273a4004d341f2882facbb7c903fa0.png
此中aij 表示上半年工厂向第 i 家 市肆发送第 j 种货品的数量．
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ce8916df578647b9bc60d0ff3e23bd8d.png
此中cij 表示工厂下半年向第 i 家 市肆发送第 j 种货品的数量．
试求：工厂在一年内向各市肆发送货品的数量．
解：工厂在一年内向各市肆发送货品的数量\
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/12e2e0f7627e44429a07a0748ba4936a.png+https://i-blog.csdnimg.cn/direct/5105e543126f4901a020b23c32f9c2a6.png=https://i-blog.csdnimg.cn/direct/a6c8e933d2f747b1b97992e792c6061e.png
一、矩阵的加法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为https://i-blog.csdnimg.cn/direct/03634a4793a24dc287137ec706649b20.png
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才气进行加法运算.
知识点比较
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/8b8c0835f9c744df99e9ad1f034e1be1.pnghttps://i-blog.csdnimg.cn/direct/eb4766a6b1a54af2aa53e356147bd063.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/bcb5ed28e9d24f4ea07952777f53ec16.png
矩阵加法的运算规律
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/8cd3381256aa403b99b9084d91096464.png
例（续）该厂所生产的货品的单价及单件重量可列成数表：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/e0f6097ce2fa40f09f9860a8447a7c9d.png
此中bi 1 表示第 i 种货品的单价， bi 2 表示第 i 种货品的单件重量．
设工厂向某家市肆发送四种货品各 l 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货品的总值及总重量．
解：工厂向该市肆发送第 j 种货品的总值及总重量
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/77688a8ac31044ccb05e8b69968b0245.png
此中bi 1 表示第 i 种货品的单价， bi 2 表示第 i 种货品的单件重量．
二、数与矩阵相乘
定义：数 入与矩阵 A 的乘积记作入 A 或 A 入 ，规定为
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/835553a920c3406a8b31580868f4b85f.png
数乘矩阵的运算规律
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/7bb271893d40448b99f8f79322b2240f.png
知识点比较
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/19f9fc6384ca4410b3debdfd6bea4051.png
例（续）
某工厂生产四种货品，它向三家市肆发送的货品 数量可用数表表示为：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/7b89c52c77754a78a8024fbf403d243f.png
此中aij 表示工厂向第 i 家市肆 发送第 j 种货品的数量．
这四种货品的单价及单件重量也可列成数表：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/5519bd32d60a406f80a91f9f90dd6007.png
此中bi 1 表示第 i 种货品的单价， bi 2 表示第 i 种货品的单件重量．
试求：工厂向三家市肆所发货品的总值及总重量．
以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家市肆所发货品的总值及 总重量，此中 i = 1, 2, 3．于是
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/8743cc2457f34fa5ba931ad99096ff8e.png
一样平常地，https://i-blog.csdnimg.cn/direct/843ced9f2e8c4c53b4b9916c17ee4983.png
可用矩阵表示为
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/f7e0c2b4eaec4c9bb0500373c0dee312.png
三、矩阵与矩阵相乘
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/05f5a29bba4e4d62a0c510b013841ddb.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/dd107f93d6a3479cb8c3ee5c248df0b3.png
并把此乘积记作 C = AB．
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/c5a148476faf4065a04647a7a5687f13.png
则https://i-blog.csdnimg.cn/direct/9175b1481c854dab9d8acbac7869e2fa.png
知识点比较
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/93ec954d886f465d83789697cefa22d0.png有意义
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/dadd7c1a28f7443991d58b23f25ee422.png没有意义.
只有当第一个矩阵的列数 即是第二个矩阵的行数时，两个矩阵才气相乘.
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