代码随想录Day 32|leetcode题目：501.斐波那契数、70.爬楼梯、746.使用最小
提示：DDU，供自己复习使用。接待各人前来讨论~动态规划理论根本
开始动态规划算法
一、理论根本
1.1 什么是动态规划
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一题目有很多重叠子题目，使用动态规划是最有效的。
所以动态规划中每一个状态肯定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的
1.2 动态规划的解题步骤
对于动态规划题目，将拆解为如下五步曲，这五步都搞清晰了，才气说把动态规划真的把握了！
[*]确定dp数组（dp table）以及下标的含义
[*]确定递推公式
[*]dp数组怎样初始化
[*]确定遍历序次
[*]举例推导dp数组
1.3 动态规划应该怎样debug
找题目标最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！
做动规的题目，写代码之前肯定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，胸有定见，确定最后推出的是想要的效果。
二、题目
题目一： 509. 斐波那契数
509. 斐波那契数
解题思路：
动态规划
动规五部曲：
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的效果
[*]确定dp数组以及下标的含义
dp的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp
[*] 确定递推公式
[*] dp数组怎样初始化
int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
cout << i << " " << j << endl;
}
}
[*]确定遍历序次
从递归公式dp = dp + dp;中可以看出，dp是依赖 dp 和 dp，那么遍历的序次肯定是从前到后遍历的
[*]举例推导dp数组
按照这个递推公式dp = dp + dp，我们来推导一下，当N为10的时间，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现效果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
vector<int> dp(N + 1);
dp = 0;
dp = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
dp = dp + dp;
}
return dp;
}
};
[*]时间复杂度：O(n)
[*]空间复杂度：O(n)
我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
int dp;
dp = 0;
dp = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
int sum = dp + dp;
dp = dp;
dp = sum;
}
return dp;
}
};
[*]时间复杂度：O(n)
[*]空间复杂度：O(1)
递归解法
[*]递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一效果，一个用来存放符合条件效果的集合。
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N < 2) return N;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
};
[*]时间复杂度：O(2^n)
[*]空间复杂度：O(n)，算上了编程语言中实现递归的体系栈所占空间
题目二：70. 爬楼梯
70. 爬楼梯
解题思路：
本题如果没有打仗过的话，会感觉比较难，多举几个例子，就可以发现其规律。
爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。
那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。
动规五部曲：
[*]确定dp数组以及下标的含义
dp： 爬到第i层楼梯，有dp种方法
[*]确定递推公式
dp = dp + dp
[*] dp数组怎样初始化
[*] 确定遍历序次
从递推公式dp = dp + dp;中可以看出，遍历序次肯定是从前向后遍历的
[*]举例推导dp数组
举例当n为5的时间，dp table（dp数组）应该是这样的
https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/eb359367b63106da9e48a7eadab7c026.png // 版本一
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp操作了，防止空指针
vector<int> dp(n + 1);
dp = 1;
dp = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
dp = dp + dp;
}
return dp;
}
};
[*]时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
[*]空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
优化一下空间复杂度，代码如下：
// 版本二
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n;
int dp;
dp = 1;
dp = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int sum = dp + dp;
dp = dp;
dp = sum;
}
return dp;
}
};
[*]时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
[*]空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
题目三： 746. 使用最小泯灭爬楼梯
746. 使用最小泯灭爬楼梯
解题思路
[*] 定义dp数组：
[*]dp 表现到达第 i 个台阶所需的最少体力。
[*] 建立递推关系：
[*]每个台阶 i 可以从台阶 i-1 或 i-2 跳上来。
[*]dp = min(dp + cost, dp + cost)。
[*] 初始化dp数组：
[*]dp 和 dp 都初始化为 0，因为到达第一个台阶不需要体力。
[*] 确定遍历序次：
[*]从第一个台阶开始，逐个计算每个台阶的 dp 值。
[*] 举例说明：
[*]通过一个具体的例子（如 cost = ），展示 dp 数组怎样渐渐构建。
具体的效果如下图所示：
https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ebf45390243858fc5832b7535d5d6c85.png class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
vector<int> dp(cost.size() + 1);
dp = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
dp = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
dp = min(dp + cost, dp + cost);
}
return dp;
}
};
[*]时间复杂度：O(n)
[*]空间复杂度：O(n)
还可以优化空间复杂度，因为dp就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了，C++代码如下：
// 版本二
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
int dp0 = 0;
int dp1 = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
int dpi = min(dp1 + cost, dp0 + cost);
dp0 = dp1; // 记录一下前两位
dp1 = dpi;
}
return dp1;
}
};
[*]时间复杂度：O(n)
[*]空间复杂度：O(1)
总结
[*]动态规划五部曲：动态规划数组和下标的定义，递归公式，动态数组的初始化，确定遍历序次，推导数组。
[*]动态规划的一些技巧，能维护变量就不要维护数组。
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