一、实行要求与目标
1.复习CCC根本概念，并根据实行平台提供的资料完成验证性实行。
2.编程训练：以书上例题小模数p为例编程实现ECC的根本运算规则。
二、实行内容与步调记录（只记录关键步调与结果，可截图，但注意排版与图片巨细）
ECC的计划思绪
ECC（椭圆曲线暗码学）是一种基于椭圆曲线数学的今世加密技术，其计划思绪主要围绕椭圆曲线的代数布局和有限域上的运算特性睁开。以下是详细的计划思绪：
1.椭圆曲线的选择与点的寻找
ECC 的基础是椭圆曲线，通常表示为 y2=x3+ax+b 的情势，此中 a 和 b 是曲线参数。为了在有限域 Fp 上实现 ECC，我们需要选择一个素数 p 作为模数，并在该有限域上找到所有满足椭圆曲线方程的整数点。这些点构成了椭圆曲线上的一个有限群，是 ECC 运算的基础。通过遍历 x 的所有大概值，计算对应的 y 值，并验证其是否为二次剩余，可以准确地找到所有整数点。
2.椭圆曲线上的运算规则计划
在找到椭圆曲线上的所有点之后，需要计划椭圆曲线上的根本运算规则，这些规则是 ECC 的焦点。主要包罗：
点加法：定义了如何将两个点 P 和 Q 相加，得到一个新的点 R。点加法的计算涉及到斜率的计算和新的坐标公式，需要思量点是否相同、是否为无穷远点等特殊环境。
点乘法：定义了如何将一个点 P 乘以一个标量 k，即计算 kP。点乘法可以通过重复的点加法实现，通常利用双倍和加算法来提高效率。
点的逆元求解：定义了如何找到一个点 P 的逆元 −P。在椭圆曲线上，点 P=(x,y) 的逆元是 −P=(x,−y)，这在有限域中表示为 (x,p−y)。
3.加密与解密的实现
在主函数中，利用上述运算规则实现 ECC 的加密和解密过程。具体步调如下：
密钥天生：用户输入一个基点 G（天生元）和一个私钥 d，计算公钥 Q=dG。
加密：用户输入一个随机数 k，计算 C1=kG 和 C2=M+kQ，此中 M 是明文点。
解密：利用私钥 d 恢复明文点 M=C2−dC1。
通过上述计划思绪，ECC 可以大概在较小的密钥长度下提供高强度的安全性，同时保持高效的计算性能。这种计划不仅确保了加密和解密过程的准确性，还通过有限域上的运算特性提供了强大的安全性保障。
实行结果如下：
三、源代码记录（关键代码需备注）
- def findsolution(p, a, b):
- """找到椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 在有限域 F_p 上的所有点"""
- s = []
- cnt = 0
- for i in range(p):
- z = (i**3 + a * i + b) % p
- if pow(z, (p - 1) // 2, p) == 1:
- y1 = pow(z, (p + 1) // 4, p)
- s.append((i, y1))
- cnt += 1
- y2 = p - y1
- if y1 != y2:
- s.append((i, y2))
- cnt += 1
- s.append((0, 0)) # 添加无穷远点
- cnt += 1
- s.sort()
- return s, cnt
- def point_addition(p, a, P, Q):
- """椭圆曲线上的点加法"""
- if P == (0, 0):
- return Q
- if Q == (0, 0):
- return P
- if P == Q:
- if P[1] == 0:
- return (0, 0) # 无穷远点
- numerator = (3 * P[0]**2 + a) % p
- denominator = (2 * P[1]) % p
- else:
- if P[0] == Q[0] and P[1] != Q[1]:
- return (0, 0) # 无穷远点
- numerator = (Q[1] - P[1]) % p
- denominator = (Q[0] - P[0]) % p
- # 计算斜率 lambda
- lambda_ = (numerator * pow(denominator, p - 2, p)) % p
- # 计算新的点
- x3 = (lambda_**2 - P[0] - Q[0]) % p
- y3 = (lambda_ * (P[0] - x3) - P[1]) % p
- return (x3, y3)
- def point_negation(p, P):
- """计算点的逆点"""
- return (P[0], p - P[1])
- def point_multiplication(p, a, P, k):
- """椭圆曲线上的点乘法"""
- result = (0, 0)
- temp = P
- while k > 0:
- if k % 2 == 1:
- result = point_addition(p, a, result, temp)
- temp = point_addition(p, a, temp, temp)
- k //= 2
- return result
- # 输入参数
- p = int(input("请输入模数p："))
- a = int(input("请输入椭圆曲线的参数a："))
- b = int(input("请输入椭圆曲线的参数b："))
- # 找到椭圆曲线上的所有点
- points, point_count = findsolution(p, a, b)
- print(f"椭圆曲线上的点：{points}")
- print(f"点的总数：{point_count}")
- # 输入生成元G和私钥d
- generator = tuple(map(int, input("请输入生成元G(x,y) 中间需要英文逗号隔开x和y：").strip("()").split(",")))
- private_key = int(input("请输入私钥d："))
- # 验证生成元是否在椭圆曲线上
- if generator not in points:
- raise ValueError("输入的生成元G不在椭圆曲线上！")
- # 生成公钥
- public_key = point_multiplication(p, a, generator, private_key)
- print(f"公钥Q = dG = {public_key}")
- # 加密
- plaintext_point = tuple(map(int, input("请输入明文点M(x,y) 中间需要英文逗号隔开x和y：").strip("()").split(",")))
- k = int(input("请输入随机数k：")) # 用于加密过程
- # 计算C1 = kG
- C1 = point_multiplication(p, a, generator, k)
- # 计算C2 = M + k * d * G
- C2 = point_addition(p, a, plaintext_point, point_multiplication(p, a, generator, k * private_key))
- print(f"加密后的密文：C1 = {C1}, C2 = {C2}")
- # 解密
- # 计算M = C2 - k * d * G
- decrypted_point = point_addition(p, a, C2, point_negation(p, point_multiplication(p, a, C1, private_key)))
- print(f"解密后的明文点：{decrypted_point}")
ECC暗码算法的安全性在于什么？
答： ECC（椭圆曲线暗码学）的安全性主要基于椭圆曲线离散对数问题的计算困难性。
椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）
ECC 的安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题的计算难度。具体来说，给定椭圆曲线上的两个点 P 和 Q，此中 Q=kP（k 是一个标量），在已知 P 和 Q 的环境下，计算标量 k 黑白常困难的。这种计算困难性使得 ECC 在面对攻击时具有很高的安全性。
计算难度：与传统的离散对数问题（如在有限域中）相比，椭圆曲线上的离散对数问题被以为更加难以解决。目前，已知的最有效的算法（如 Pollard's rho 算法）在计算复杂度上仍然非常高，这使得 ECC 在较小的密钥长度下就能提供与传统加密算法（如 RSA）相当的安全性。
密钥长度优势：由于 ECDLP 的计算难度，ECC 可以利用较短的密钥长度来实现相同的安全级别。比方，一个 256 位的 ECC 密钥可以提供与 3072 位 RSA 密钥相当的安全性。这使得 ECC 在计算资源有限的环境中（如移动装备和物联网装备）具有显著的优势。
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