【数据结构】复杂度

目次
数据结构前言
算法的时间复杂度和空间复杂度
1.算法服从
1.1怎样权衡一个算法的优劣
1.2算法的复杂度
2.大O渐进表现法
3.时间复杂度
2.1时间复杂度的概念
2.2盘算大O渐进表现法的实例
3.空间复杂度
3.1空间复杂度的概念
3.2盘算大O渐进表现法的实例
 4常见时间复杂度对比

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数据结构前言

1. 什么是数据结构?
数据结构(Data Structure)是盘算机存储、构造数据的方式,指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的聚集。
2.什么是算法?
算法(Algorithm):就是界说良好的盘算过程,它取一个或一组的值为输入,并产生出一个或一组值作为输出。简朴来说算法就是一系列的盘算步调,用来将输入数据转化成输出结果。
 
算法的时间复杂度和空间复杂度

【本节目的】
   1.算法服从
2.时间复杂度
3.空间复杂度
4.常见时间复杂度以及复杂度
  1.算法服从

1.1怎样权衡一个算法的优劣

怎样权衡一个算法的优劣呢 ? 比如对于以下斐波那契数列:

1. long long Fib(int N)
2. }
3.     if(N < 3)
4.         return 1;
5.     return Fib(N-1) + Fib(N-2);
6. }

复制代码

斐波那契数列的递归实现方式非常简便,但简便肯定好吗?那该怎样权衡其好与坏呢? 
1.2算法的复杂度

   算法在编写成可实行步伐后,运行时必要淹灭时间资源和空间(内存)资源。因此权衡一个算法的优劣,一样平常是从时间和空间两个维度来权衡的,即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度重要权衡一个算法的运行快慢,而空间复杂度重要权衡一个算法运行所必要的额外空间。在盘算机发展的早期,盘算机的存储容量很小。以是对空间复杂度非常在乎。但是颠末盘算机行业的灵敏发展,盘算机的存储容量已经到达了很高的水平。以是我们现在已经不必要再特殊关注一个算法的空间复杂度。
  2.大O渐进表现法

大O符号(Big O notation):是用于形貌函数渐进举动的数学符号。
推导大O阶方法:
   1、用常数1取代运行时间中的全部加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中,只生存最高阶项。
3、假如最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
  使用大O的渐进表现法以后,Func1的时间复杂度为:

O(N^2)

● N = 10 F(N) = 100
● N = 100 F(N) = 10000
● N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表现法去掉了那些对结果影响不大的项,简便明确的表现出了实行次数。别的有些算法的时间复杂度存在最好、均匀和最坏情况:
最坏情况:恣意输入规模的最大运行次数(上界)
均匀情况:恣意输入规模的渴望运行次数
最好情况:恣意输入规模的最小运行次数(下界)
比方:在一个长度为N数组中搜刮一个数据x
最好情况:1次找到
最坏情况: N次找到
均匀情况:N/2次找到
在实际中一样平常情况关注的是算法的最坏运行情况,以是数组中搜刮数据时间复杂度为O(N)
3.时间复杂度

2.1时间复杂度的概念

 时间复杂度的界说:在盘算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数(纯数学函数）,它定量形貌了该算法的运行时间。一个算法实行所淹灭的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的步伐放在呆板上跑起来,才气知道。但是我们必要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很贫苦,以是才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所淹灭的时间与此中语句的实行次数成正比例,算法中的根本使用的实行次数,为算法的时间复杂度。
即:找到某条根本语句与标题规模N之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度。
 

1. // 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次?
3. void Func1(int N)
4. {
5.         int count = 0;
7.         for (int i = 0; i < N ; ++ i)
8.         {
9.                 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
10.                 {
11.                         ++count ;
12.                 }
13.         }
14.         for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
15.         {
16.                 ++count ;
17.         }
18.         int M = 10;
20.         while (M -- )
21.         {
22.                 ++count ;
23.         }
24.         printf("%d\n", count);
25. }

复制代码

Func1 实行的根本使用次数:

F(N)= N^2+2*N+10

● N = 10            F(N) = 130
● N = 100          F(N) = 10210
● N = 1000        F(N) = 1002010
实际中我们盘算时间复杂度时,我们着实并不肯定要盘算精确的实行次数,而只必要大概实行次数,那么这里我们使用大O的渐进表现法。


2.2盘算大O渐进表现法的实例

O(N)

O(M+N)

 假如 M 便是 N，则为 O(M) 或 O(N)，假如 M 远弘大于 N 则为 O(M)，反之则为 O(N)。

O(1)

 O(1) 并不是说实行了语句一次，而是常数次。

最坏的情况： 

O(n）（n = strlen(str))

一样平常情况关注的是算法的最坏运行情况。
冒泡排序法：

 最好：

O(n)

最好的情况固然是数组原来就是升序的，在履历了一次内循环后就退出了循环，一共比力了 n - 1 次
最坏：

O(N^2)

 最坏的情况是数组是降序的，每次内循环都要比力 n - 1次、n - 2次、n - 3次......到末了比力 1 次，以是一共比力 (n - 1)(n - 2)(n - 3)......3*2*1 次，
假如没有 exchange 作为判定标记，那么最好和最坏都是 O(N^2)。
一样平常情况关注的是算法的最坏运行情况，以是这个冒泡排序法的大O的渐进表现法是O(N^2)。
二分查找

最好的情况：一次就找到了，或常数次

O(1)

 最坏的情况：要查找的数在数组的最左端或最右端，或要查找的数大于数组最大值或小于数组最小值。每次查找数组长度(n)都要除以 2，直到区间长度为 1 时找到了或找不到，即：
n/2/2/2/2....../2/2 = 1，设查找的次数为 x ，则 2^x = n，即 x = log2(n) 。在时间复杂度的大O的渐进表现法中，以 2 为底的对数简写为logN。

O(log(n))    （n 是数组长度）

二分查找的服从好坏常高的，但它不实用，由于它要求数组是有序的。 
N                   1000        100W        10亿
O(N)              1000        100W        10亿
O(log2(N))       10             20             30
阶乘递归

O(n)

每调用一次函数，算作实行一次语句。 
斐波那契递归

 

O(2^N)

Fib(N) 要调用 FIb(N-1) 和 Fib(N-2) ，FIb(N-1) 要调用 Fib(N-2) 和 Fib(N-3) ...... 调用函数的次数就是 1 为首项，2 为公比的等比数列的前 N 项和。

 

 固然上图右边有些函数会提前竣事递推，但对总体的函数调用次数影响较小。
3.空间复杂度

时间一去不复返，不可重复使用，空间可以重复使用。
3.1空间复杂度的概念

   空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中暂时占用存储空间巨细的量度。
空间复杂度不是步伐占用了多少bytes的空间,由于这个也没太大意义,以是空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度盘算规则根本跟实践复杂度类似,也使用大O渐进表现法。
注意:函数运行时所必要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了,因此空间复杂度重要通过函数在运行时间显式申请的额外空间来确定。
  3.2盘算大O渐进表现法的实例

步伐中只创建了 3 个变量：size_t end、int exchange、size_t i。以是这个算法的空间复杂度是：

O(1)

 假如一个函数的内部中只界说了一个二维数组a[3][6]，那么这个函数的空间复杂度就是 O(1)。

 

 在盘算斐波那契数列的前 n 项时，创建了 FibArray 数组，以是这个算法的空间复杂度是：

O(n)

 每次调用 Fac 函数都要开辟函数栈帧，每开辟一个函数栈帧我们以为有常数个空间，这个算法要调用 n + 1 次函数，以是这个算法的空间复杂度是：

O(N)

 

 这个算法的空间复杂度是：

O(N)

 

缘故原由：我们得清晰函数调用的序次： 固然 Fib(N) 要调用 FIb(N-1) 和 Fib(N-2) ，FIb(N-1) 要调用 Fib(N-2) 和 Fib(N-3) ......，但是 Fib(N) 不是同时调用 FIb(N-1) 和 Fib(N-2) 的，是等 FIb(N-1) 返回值后再调用 Fib(N-2) 的，以此类推，FIb(N-1) 也不是同时调用 Fib(N-2) 和 Fib(N-3) 的。精确的调用序次是：Fib(N) 先调用 FIb(N-1)，FIb(N-1) 再调用 Fib(N-2) ......直到 Fib(2) 返回 1 给 Fib(3) 后，Fib(3) 再调用 Fib(1)，Fib(3) 返回值给 Fib(4) 后，Fib(4) 再调用 Fib(2) ......，而 Fib(3) 调用 Fib(2) 和 Fib(1) 都是使用的同一片函数栈帧空间，以是当 Fib(N) 实行完后，一共开辟了 N 个函数栈帧空间。
 4常见时间复杂度对比

一样平常算法常见的时间复杂度如下：

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