矩阵和向量点乘叉乘元素乘

Date: 2025.01.07
Author: Xin Pan
回首下矩阵和向量的各种乘法。
向量

点乘

又叫做点积、内积、数量积、标量积。                                   a                         =                         [                                   a                            1                                  ,                                   a                            2                                  ,                         .                         .                         .                         ,                                   a                            n                                  ]                              a=[a_1,a_2,...,a_n]                  a=[a1​,a2​,...,an​]和                                   b                         =                         [                                   b                            1                                  ,                                   b                            2                                  ,                         .                         .                         .                         ,                                   b                            n                                  ]                              b=[b_1,b_2,...,b_n]                  b=[b1​,b2​,...,bn​]点乘的结果是一个标量，记作                                   a                         .                         b                              a.b                  a.b
                                    a                         .                         b                         =                                   ∑                                       i                               =                               1                                      n                                            a                            i                                            b                            i                                  =                                   a                            1                                            b                            1                                  +                                   a                            2                                            b                            2                                  +                         .                         .                         .                         +                                   a                            n                                            b                            n                                       a.b=\sum_{i=1}^na_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n                  a.b=∑i=1n​ai​bi​=a1​b1​+a2​b2​+...+an​bn​
叉乘

又叫向量积、外积、叉积，叉乘，                                   a                         =                         [                                   a                            1                                  ,                                   a                            2                                  ,                         .                         .                         .                         ,                                   a                            n                                  ]                              a=[a_1,a_2,...,a_n]                  a=[a1​,a2​,...,an​]和                                   b                         =                         [                                   b                            1                                  ,                                   b                            2                                  ,                         .                         .                         .                         ,                                   b                            n                                  ]                              b=[b_1,b_2,...,b_n]                  b=[b1​,b2​,...,bn​]叉乘的运算结果是一个向量，而且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直，记作                                   a                         x                         b                              axb                  axb
                                    a                         x                         b                         =                         (                                   a                            2                                            b                            3                                  −                                   b                            2                                            a                            3                                  ,                         −                                   a                            1                                            b                            3                                  +                                   b                            1                                            a                            3                                  ,                                   a                            1                                            b                            2                                  −                                   b                            1                                            a                            2                                  )                              axb=(a_2b_3-b_2a_3,-a_1b_3+b_1a_3,a_1b_2-b_1a_2)                  axb=(a2​b3​−b2​a3​,−a1​b3​+b1​a3​,a1​b2​−b1​a2​)
元素乘（我自己起的名，为了方便理解）

对应位置元素相成，维度稳定。

1. import numpy as np
3. if __name__ == "__main__":
4.     a = np.array([1, 2, 3])
5.     b = np.array([4, 5, 6])
7.     print(f"Dot={np.dot(a,b)}")
8.     print(f"Cross={np.cross(a,b)}")
9.     print(f"@ times={a@b}")
10.     print(f"* times={a*b}")
11.     print(f"np.multiply={np.multiply(a,b)}")

复制代码

结果

1. Dot=32
2. Cross=[-3  6 -3]
3. @ times=32
4. * times=[ 4 10 18]
5. np.multiply=[ 4 10 18]

复制代码

矩阵

点乘

是矩阵各个对应元素相乘, 这个时候要求两个矩阵必须同样大小。做的事和向量的元素乘一样的。可以直接利用星号(*)进行表示。
叉乘

矩阵的乘法就是矩阵a的第m行乘以矩阵b的第n列，各个元素对应相乘然后求和作为第m行n列元素的值。利用np.dot函数实行，也可以利用@计算。
元素乘（我自己起的名，为了方便理解）

和矩阵点乘做的是一样的事情。

1. import numpy as np
3. if __name__ == "__main__":
4.     a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
5.     b = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])
7.     print(f"Dot={np.dot(a,b.T)}")
8.     print(f"Cross={np.cross(a,b)}")
9.     print(f"@ times={a@b.T}")
10.     print(f"* times={a*b}")
11.     print(f"np.multiply={np.multiply(a,b)}")

复制代码

结果

1. Dot=[[ 50  68]
2. [122 167]]
3. Cross=[[-6 12 -6]
4. [-6 12 -6]]
5. @ times=[[ 50  68]
6. [122 167]]
7. * times=[[ 7 16 27]
8. [40 55 72]]
9. np.multiply=[[ 7 16 27]
10. [40 55 72]]

复制代码

总结

维度点乘结果叉乘结果元素乘结果向量[1,N] 或 [N,1]数向量向量矩阵[M,N] M，N大概同等矩阵矩阵矩阵 维度点乘表示叉乘表示元素乘表示向量[1,N] 或 [N,1]np.dot or @np.cross* or multiply矩阵[M,N] M，N大概同等* or multiplynp.dot or @* or multiply
免责声明：如果侵犯了您的权益，请联系站长，我们会及时删除侵权内容，谢谢合作！更多信息从访问主页：qidao123.com:ToB企服之家，中国第一个企服评测及商务社交产业平台。