B树的分裂与合并操纵详解

B树的分裂与合并操纵详解

弁言

B树是一种自平衡的树数据布局，广泛应用于数据库和文件体系中，以维持有序数据并允许高效的插入、删除和搜刮操纵。作为一种多路搜刮树，B树的每个节点可以有多个子节点和多个键值。B树的关键特性在于其通太过裂和合并操纵来保持平衡。本文将具体介绍B树的分裂与合并操纵，并提供具体的源码示例。
B树基础知识

在讨论B树的分裂与合并操纵之前，先扼要回顾一下B树的根本概念和性质。
B树的定义

B树是一种平衡的多路搜刮树，满足以下性质：

• 每个节点最多有m个子节点（称为m阶B树）。
  
• 除根节点外，每个节点至少有⌈m/2⌉个子节点。
  
• 根节点至少有两个子节点（假如非叶子节点）。
  
• 每个节点包罗k-1个键值和k个子节点指针，其中⌈m/2⌉ ≤ k ≤ m。
  
• 全部叶子节点都位于同一层。
  

B树的布局

B树节点的布局如下所示：

1. Node:
2.     keys: [k1, k2, ..., kn]
3.     children: [c0, c1, ..., cn]
4.     n: 当前节点中的键值数量
5.     leaf: 是否为叶子节点

复制代码

B树的分裂操纵

分裂操纵是B树在插入过程中用于保持平衡的关键操纵。当一个节点中的键值数量到达最大值m-1时，该节点必要分裂为两个节点，并将中间键提拔到父节点中。
分裂操纵的步骤

• 创建一个新的节点，作为分裂后的一半。
  
• 将中间键及其左侧的键值和子节点保存在原节点中。
  
• 将中间键右侧的键值和子节点移动到新节点中。
  
• 将中间键提拔到父节点中。假如父节点也满了，递归实行分裂操纵。
  

分裂操纵的示例

假设我们有一个B树节点，包罗以下键值：

1. Node:
2.     keys: [10, 20, 30, 40, 50]
3.     children: [c0, c1, c2, c3, c4, c5]
4.     n: 5
5.     leaf: False

复制代码

在插入新键值60时，节点已满，必要进行分裂操纵：

• 创建一个新节点：
  

1. New Node:
2.     keys: []
3.     children: []
4.     n: 0
5.     leaf: False

复制代码

• 将中间键及其左侧键值保存在原节点中：
  

1. Original Node (after split):
2.     keys: [10, 20]
3.     children: [c0, c1, c2]
4.     n: 2
5.     leaf: False

复制代码

• 将中间键右侧的键值和子节点移动到新节点中：
  

1. New Node (after split):
2.     keys: [40, 50, 60]
3.     children: [c3, c4, c5, c6]
4.     n: 3
5.     leaf: False

复制代码

• 将中间键30提拔到父节点中：
  

1. Parent Node (after split):
2.     keys: [30]
3.     children: [Original Node, New Node]
4.     n: 1
5.     leaf: False

复制代码

B树的合并操纵

合并操纵是B树在删除过程中用于保持平衡的关键操纵。当一个节点中的键值数量低于最小值⌈m/2⌉-1时，该节点必要与其相邻的兄弟节点合并，大概从父节点借一个键值。
合并操纵的步骤

• 查抄节点的左兄弟和右兄弟，选择一个键值数量大于最小值的兄弟节点。
  
• 将父节点中的键值下移到当前节点中。
  
• 将兄弟节点中的键值上移到父节点中。
  
• 假如兄弟节点的键值数量也低于最小值，合并当前节点和兄弟节点，并递归实行合并操纵。
  

合并操纵的示例

假设我们有一个B树节点，包罗以下键值：

1. Parent Node:
2.     keys: [20, 40]
3.     children: [Node1, Node2, Node3]
4.     n: 2
5.     leaf: False

复制代码

删除节点Node2中的键值30后，节点中的键值数量低于最小值，必要进行合并操纵：

• 查抄左兄弟Node1和右兄弟Node3，选择一个键值数量大于最小值的兄弟节点。假设选择右兄弟Node3：
  

1. Node3:
2.     keys: [50, 60]
3.     children: [c5, c6, c7]
4.     n: 2
5.     leaf: False

复制代码

• 将父节点中的键值40下移到当前节点Node2中：
  

1. Node2 (after borrow):
2.     keys: [40]
3.     children: [c3, c4]
4.     n: 1
5.     leaf: False

复制代码

• 将右兄弟Node3中的键值50上移到父节点中：
  

1. Parent Node (after borrow):
2.     keys: [20, 50]
3.     children: [Node1, Node2, Node3]
4.     n: 2
5.     leaf: False

复制代码

假如右兄弟Node3的键值数量也低于最小值，则必要进行合并操纵：

• 将当前节点Node2与右兄弟Node3合并：
  

1. Node2 (after merge):
2.     keys: [40, 50, 60]
3.     children: [c3, c4, c5, c6, c7]
4.     n: 3
5.     leaf: False

复制代码

• 将父节点中的键值50下移到当前节点Node2中，删除右兄弟Node3：
  

1. Parent Node (after merge):
2.     keys: [20]
3.     children: [Node1, Node2]
4.     n: 1
5.     leaf: False

复制代码

源码示例

以下是B树的分裂与合并操纵的完整源码示例，使用Python语言实现。

1. class BTreeNode:
2.     def __init__(self, t, leaf=False):
3.         self.t = t  # B树的最小度数
4.         self.keys = []
5.         self.children = []
6.         self.leaf = leaf
8. class BTree:
9.     def __init__(self, t):
10.         self.root = BTreeNode(t, True)
11.         self.t = t
13.     def insert(self, k):
14.         root = self.root
15.         if len(root.keys) == 2 * self.t - 1:
16.             s = BTreeNode(self.t, False)
17.             s.children.append(self.root)
18.             self.split_child(s, 0)
19.             self.root = s
20.             self.insert_non_full(s, k)
21.         else:
22.             self.insert_non_full(root, k)
24.     def insert_non_full(self, x, k):
25.         i = len(x.keys) - 1
26.         if x.leaf:
27.             x.keys.append(None)
28.             while i >= 0 and k < x.keys[i]:
29.                 x.keys[i + 1] = x.keys[i]
30.                 i -= 1
31.             x.keys[i + 1] = k
32.         else:
33.             while i >= 0 and k < x.keys[i]:
34.                 i -= 1
35.             i += 1
36.             if len(x.children[i].keys) == 2 * self.t - 1:
37.                 self.split_child(x, i)
38.                 if k > x.keys[i]:
39.                     i += 1
40.             self.insert_non_full(x.children[i], k)
42.     def split_child(self, x, i):
43.         t = self.t
44.         y = x.children[i]
45.         z = BTreeNode(t, y.leaf)
46.         x.children.insert(i + 1, z)
47.         x.keys.insert(i, y.keys[t - 1])
49.         z.keys = y.keys[t:]
50.         y.keys = y.keys[:t - 1]
52.         if not y.leaf:
53.             z.children = y.children[t:]
54.             y.children = y.children[:t]
56.     def delete(self, k):
57.         self._delete(self.root, k)
58.         if len(self.root.keys) == 0 and not self.root.leaf:
59.             self.root = self.root.children[0]
61.     def _delete(self, x, k):
62.         t = self.t
63.         if k in x.keys:
64.             if x.leaf:
65.                 x.keys.remove(k)
66.             else:
67.                 idx = x.keys.index(k)
68.                 if len(x.children[idx].keys) >= t:
69.                     predecessor = self.get_predecessor(x, idx)
70.                     x.keys[idx] = predecessor
71.                     self._delete(x.children[idx], predecessor)
72.                 elif len(x.children[idx + 1].keys) >= t:
73.                     successor = self.get_successor(x, idx)
74.                     x.keys[idx] = successor
77.                     self._delete(x.children[idx + 1], successor)
78.                 else:
79.                     self.merge(x, idx)
80.                     self._delete(x.children[idx], k)
81.         else:
82.             if x.leaf:
83.                 return
85.             idx = self.find_key(x, k)
86.             if len(x.children[idx].keys) < t:
87.                 if idx > 0 and len(x.children[idx - 1].keys) >= t:
88.                     self.borrow_from_prev(x, idx)
89.                 elif idx < len(x.children) - 1 and len(x.children[idx + 1].keys) >= t:
90.                     self.borrow_from_next(x, idx)
91.                 else:
92.                     if idx != len(x.children) - 1:
93.                         self.merge(x, idx)
94.                     else:
95.                         self.merge(x, idx - 1)
97.             self._delete(x.children[idx], k)
99.     def get_predecessor(self, x, idx):
100.         current = x.children[idx]
101.         while not current.leaf:
102.             current = current.children[-1]
103.         return current.keys[-1]
105.     def get_successor(self, x, idx):
106.         current = x.children[idx + 1]
107.         while not current.leaf:
108.             current = current.children[0]
109.         return current.keys[0]
111.     def merge(self, x, idx):
112.         t = self.t
113.         child = x.children[idx]
114.         sibling = x.children[idx + 1]
116.         child.keys.append(x.keys[idx])
117.         child.keys.extend(sibling.keys)
119.         if not child.leaf:
120.             child.children.extend(sibling.children)
122.         x.keys.pop(idx)
123.         x.children.pop(idx + 1)
125.     def borrow_from_prev(self, x, idx):
126.         child = x.children[idx]
127.         sibling = x.children[idx - 1]
129.         child.keys.insert(0, x.keys[idx - 1])
130.         x.keys[idx - 1] = sibling.keys.pop()
132.         if not child.leaf:
133.             child.children.insert(0, sibling.children.pop())
135.     def borrow_from_next(self, x, idx):
136.         child = x.children[idx]
137.         sibling = x.children[idx + 1]
139.         child.keys.append(x.keys[idx])
140.         x.keys[idx] = sibling.keys.pop(0)
142.         if not child.leaf:
143.             child.children.append(sibling.children.pop(0))
145.     def find_key(self, x, k):
146.         idx = 0
147.         while idx < len(x.keys) and x.keys[idx] < k:
148.             idx += 1
149.         return idx
151.     def traverse(self, x=None, depth=0):
152.         if x is None:
153.             x = self.root
154.         print(" " * depth, x.keys)
155.         if not x.leaf:
156.             for child in x.children:
157.                 self.traverse(child, depth + 4)
159.     def search(self, k, x=None):
160.         if x is None:
161.             x = self.root
162.         i = 0
163.         while i < len(x.keys) and k > x.keys[i]:
164.             i += 1
165.         if i < len(x.keys) and k == x.keys[i]:
166.             return True
167.         if x.leaf:
168.             return False
169.         return self.search(k, x.children[i])
171. # 测试B树
172. btree = BTree(3)
174. for i in range(10):
175.     btree.insert(i)
177. print("Initial tree:")
178. btree.traverse()
180. btree.delete(3)
181. print("\nTree after deleting 3:")
182. btree.traverse()
184. btree.delete(6)
185. print("\nTree after deleting 6:")
186. btree.traverse()

复制代码

结论

通过本文的具体介绍，我们理解了B树的分裂与合并操纵的原理和实现方式。分裂操纵在插入过程中用于保持B树的平衡，而合并操纵在删除过程中用于保持B树的平衡。这些操纵确保了B树能够高效地实行插入、删除和搜刮操纵。通过源码示例，我们展示了如何在现实编程中实现这些操纵，并测试了它们的正确性。希望本文对读者深入理解B树的工作机制有所资助，并能够在现实项目中应用B树。

免责声明：如果侵犯了您的权益，请联系站长，我们会及时删除侵权内容，谢谢合作！更多信息从访问主页：qidao123.com:ToB企服之家，中国第一个企服评测及商务社交产业平台。