关系代数（Relational Algebra）是关系型数据库理论的基础之一，它提供了一组操作，用于从一个或多个关系（即数据库中的表）中提取和处置惩罚数据。这些操作本质上是一种查询语言，通过对关系的操作生成新的关系，类似于 SQL 中的查询语句。关系代数的每个操作都是针对关系的，操作的效果也是一个关系。
关系代数可以用于表达查询的逻辑运算，是查询执行的理论基础。它使用数学符号和规则来描述数据查询的操作，并且通过这些操作可以组合成更复杂的查询。
1. 关系代数的基本概念
1.1 关系（Relation）
在关系代数中，关系就是表，表由多少个元组（即行）组成，表中的列称为属性。一个关系可以看作一个集合，其中每个元素是一个元组。
1.2 属性（Attribute）
属性是关系中的列，描述了元组中的一个数据点。比方，关系 “学生” 中可能有属性 “学号”、“姓名”、“班级”。
1.3 元组（Tuple）
元组是关系中的一行数据，每个元组由多少个属性的值组成。每个元组的值是不同的属性的详细数据点。
2. 关系代数的基本操作
关系代数中的操作可以分为两类：基本操作和派生操作。基本操作包括选择、投影、并、差、笛卡尔积、重命名，派生操作包括交、自然毗连、左外毗连等。基本操作是其他操作的基础，任何复杂的查询都可以由基本操作组合而成。
2.1 选择（Selection, σ）
选择操作用于从关系中选取符合某些条件的元组，即按行选择。选择操作的效果是原关系的一个子集。
- 语法： σ 条件 ( R ) \sigma_{条件}(R) σ条件(R)
- 寄义：从关系 R R R 中选择满意某个条件的元组。
示例：
假设有一个关系 学生(Student)，属性为 学号、姓名、班级。
学号姓名班级101张三一班102李四二班103王五一班 选择班级为“一班”的学生：
- σ 班级 = ’一班’ ( 学生 ) \sigma_{\text{班级 = '一班'}}(学生) σ班级 = ’一班’(学生)
效果为：
学号姓名班级101张三一班103王五一班 2.2 投影（Projection, π）
投影操作用于从关系中选择特定的属性，即按列选择。投影操作会删除不需要的列，并去除效果中的重复元组。
- 语法： π 属性列表 ( R ) \pi_{\text{属性列表}}(R) π属性列表(R)
- 寄义：从关系 R R R 中选择指定的列（属性）。
示例：
在 学生(Student) 关系中，投影出学生的学号和姓名：
- π 学号, 姓名 ( 学生 ) \pi_{\text{学号, 姓名}}(\text{学生}) π学号, 姓名(学生)
效果为：
学号姓名101张三102李四103王五 2.3 并（Union, ∪）
并操作用于将两个关系中的全部元组归并，去掉重复的元组。要求两个关系的属性必须类似。
- 语法： R 1 ∪ R 2 R_1 \cup R_2 R1∪R2
- 寄义：返回关系 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 的并集，包罗 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 中全部的元组，重复元组只保存一个。
示例：
假设有两个关系：
关系A：
学号姓名101张三102李四 关系B：
学号姓名102李四103王五 执行并操作：
效果为：
学号姓名101张三102李四103王五 2.4 差（Difference, −）
差操作用于返回属于第一个关系但不属于第二个关系的元组。
- 语法： R 1 − R 2 R_1 - R_2 R1−R2
- 寄义：返回属于 R 1 R_1 R1 而不属于 R 2 R_2 R2 的元组。
示例：
对于上面的关系A和关系B，执行差操作：
效果为：
学号姓名101张三 2.5 笛卡尔积（Cartesian Product, ×）
笛卡尔积用于将两个关系中的每个元组归并，生成一个包罗全部可能组合的新关系。
- 语法： R 1 × R 2 R_1 \times R_2 R1×R2
- 寄义：返回 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 的笛卡尔积，每个元组是 R 1 R_1 R1 的一个元组与 R 2 R_2 R2 的一个元组的组合。
示例：
假设有两个关系：
关系A：
学号姓名101张三 关系B：
课程ID课程名201数学202英语 执行笛卡尔积：
效果为：
学号姓名课程ID课程名101张三201数学101张三202英语 2.6 重命名（Rename, ρ）
重命名操作用于为关系或其属性赋予新的名字，以方便理解或解决关系代数表达式中的属性名辩说标题。
- 语法： ρ 新名 ( R ) \rho_{新名}(R) ρ新名(R)
- 寄义：将关系 R R R 重命名为 新名 新名 新名。
示例：
假设有一个关系 学生(Student)：
- ρ S ( S t u d e n t ) \rho_{S}(Student) ρS(Student)
将 Student 关系重命名为 S。
3. 关系代数的派生操作
派生操作是基于基本操作构建的更复杂的操作，用于表达更复杂的查询逻辑。
3.1 交（Intersection, ∩）
交操作返回两个关系的交集，包罗两个关系共有的元组。
- 语法： R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1∩R2
- 寄义：返回同时属于 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 的元组。
3.2 自然毗连（Natural Join, ⨝）
自然毗连是笛卡尔积的一个变体，它联合了选择和笛卡尔积，要求只有类似属性的元组才被毗连。
- 语法： R 1 ⋈ R 2 R_1 \bowtie R_2 R1⋈R2
- 寄义：根据两个关系中具有类似属性值的列进行毗连，去掉重复的列。
示例：
假设有两个关系：
学生表：
学号姓名101张三102李四 选课表：
学号课程101数学102英语 自然毗连操作：
- 学生 ⋈ 选课 学生 \bowtie 选课 学生⋈选课
效果为：
学号姓名课程101张三数学102李四英语 3.3 外毗连（Outer Join）
外毗连是自然毗连的扩展。它包括左外毗连（Left Outer Join）、右外毗连（Right Outer Join）和全外毗连（Full Outer Join），外毗连保存了不匹配的元组。
- 左外毗连（Left Outer Join）：保存左表的全部元组，纵然右表中没有匹配的元组。
- 右外毗连（Right Outer Join）：保存右表的全部元组，纵然左表中没有匹配的元
组。
- 全外毗连（Full Outer Join）：保存左右表的全部元组。
4. 关系代数和 SQL 的关系
关系代数是 SQL 查询语言的理论基础，SQL 的很多操作都可以通过关系代数来描述。比如：
- SQL中的SELECT 对应关系代数中的 选择（Selection, σ）。
- SQL中的JOIN 对应关系代数中的 自然毗连（Natural Join, ⨝）。
通过关系代数，可以用数学的形式表达数据库查询逻辑，资助理解 SQL 语句的执行原理。
总结
关系代数 是关系型数据库理论中的一种操作体系，它使用一组数学操作符对关系（表）进行查询操作。通过选择、投影、并、差、笛卡尔积、重命名等基本操作，关系代数为数据库提供了一个强大的查询工具。复杂的查询可以通过这些基本操作组合实现，理解关系代数对理解 SQL 查询优化和执行至关重要。
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