同态加密和SEAL库的介绍（十）CKKS 参数心得 2

写在前面：
        本篇继承上篇的测试，首先针对密文深度乘法情况，虽然密文乘法本就是应该尽量避免的（时间和内存本钱过高），更不用说深度乘法了，但是为了测试的完整性，还是做一下方便各人比对。
        其次是关于参数设置对内存占用的影响，这个非常紧张，由于我们在跑模型的时候，经常进程被 kill，由于确实是密文出乎料想的大，后面根据测试数据各人就能看出来。
一、测试设置

由于和之前的设置一样，这里就不多介绍了，直接放代码。
1.1 前置设置

1. EncryptionParameters parms(scheme_type::ckks);
2. size_t poly_modulus_degree = 8192;
3. parms.set_poly_modulus_degree(poly_modulus_degree);
4. parms.set_coeff_modulus(CoeffModulus::Create(poly_modulus_degree, { 50, 30, 30, 50 }));
5. double scale = pow(2.0, 30);
6. SEALContext context(parms);
8. KeyGenerator keygen(context);
9. auto secret_key = keygen.secret_key();
10. PublicKey public_key;
11. keygen.create_public_key(public_key);
12. RelinKeys relin_keys;
13. keygen.create_relin_keys(relin_keys);
14. GaloisKeys gal_keys;
15. keygen.create_galois_keys(gal_keys);
16. Encryptor encryptor(context, public_key);
17. Evaluator evaluator(context);
18. Decryptor decryptor(context, secret_key);
19. CKKSEncoder encoder(context);
20. size_t slot_count = encoder.slot_count();

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1.2 输入设置

为了具有对比参考代价，这里输入也设置成一样，不外对三个乘数举行加密。

1. vector<double> the_input;
2. the_input.reserve(slot_count);
3. for (size_t i = 0; i < slot_count; i++){
4.     the_input.push_back((double)i);
5. }
6. Plaintext the_input_plain;
7. encoder.encode(the_input, scale, the_input_plain);
8. Ciphertext the_input_enc;
9. encryptor.encrypt(the_input_plain, the_input_enc);
11. Plaintext const_plain_1, const_plain_2, const_plain_3;
12. encoder.encode(3.14, scale, const_plain_1);
13. encoder.encode(3.14, scale, const_plain_2);
14. encoder.encode(3.14, scale, const_plain_3);
15. Ciphertext const_cipher_1, const_cipher_2, const_cipher_3;
16. encryptor.encrypt(const_plain_1, const_cipher_1);
17. encryptor.encrypt(const_plain_2, const_cipher_2);
18. encryptor.encrypt(const_plain_3, const_cipher_3);

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二、密文乘法测试

        跟上篇一样，每乘一次举行解密输出，便于查看中心效果信息。基于之前理论，继承 三次乘法，两次 Rescale。
2.1 乘法设置及密文巨细观察

先写一下乘法代码：（注意所用的乘法函数和之前差别）

1. evaluator.multiply_inplace(the_input_enc, const_cipher_1);
2. evaluator.rescale_to_next_inplace(the_input_enc);
4. evaluator.mod_switch_to_inplace(const_cipher_2, the_input_enc.parms_id());
5. const_cipher_2.scale() = the_input_enc.scale();
6. evaluator.multiply_inplace(the_input_enc, const_cipher_2);
8. evaluator.rescale_to_next_inplace(the_input_enc);
10. evaluator.mod_switch_to_inplace(const_cipher_3, the_input_enc.parms_id());
11. const_cipher_3.scale() = the_input_enc.scale();
12. evaluator.multiply_inplace(the_input_enc, const_cipher_3);
14. decryptor.decrypt(the_input_enc, the_input_plain);
15. encoder.decode(the_input_plain, the_input);

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先辈行两次乘法查看中心效果：（这里输出一下 密文巨细）

         对比之前的明文乘法，密文巨细产生了变化，明文乘法后，巨细不变；这里密文相乘后，效果的密文巨细达到了3；第二次乘法后，巨细变成了4；固然这里容量的变化比力明显，不外不知道其和巨细的具体区别。

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2.2 重新线性化观察

引入重新线性化，继承观察：

        此处可以发现，每次重新线性化后，密文巨细会减小到2，但是不会改变容量。别的，末了一位的精确值是 40375.062 ，上面对第二次乘法和第二次重新线性化后都举行了解密，对比不举行重新线性化，精度并未明显增强。由于 CKKS 没有噪声预算的概念，所以重新线性化在此处，并未观察到除减小密文外，明显的其他增益效果。

三、深度 密文乘法测试

接下来，将 coeff_modulus 的长度为 4 和 5 分别举行测试。 （下面也举行了重新线性化）

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3.1 长度为4的模数链

scale = 30，coeff_modulus = 160 (50 + 30 + 30 + 50) bits

果然，想举行第三次乘法，会报错：scale out of bounds！
按照上篇的理论，当处在模数链底层时，乘法效果的 scale 要小于 coeff_modulus 第一位。

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那更改参数为：scale = 29，coeff_modulus = 176 (59 + 29 + 29 + 59) bits

        果然就不报错，乐成举行了第三次密文乘法。但是，第二次乘法效果还近似精确，第三次效果就不精确了（第一位本应该是0的），证实此种参数设置虽然可以乘，但是精度严重不敷。

3.2 长度为 5 的模数链

既然上面的结论同上篇雷同，那同理继承拉长模数链：（为了减少冗余，只截后面乘法效果）
scale = 30，coeff_modulus = 190 (50 + 30 + 30 + 30 + 50) bits

        第三次乘法后，第三位的精确效果是：61.9183，末了一位应该是：126777.6947。可以看出，精度还可以。
别的，为了严谨，我还实验了不举行重新线性化的三次密文乘法，效果为：

        密文长度从一开始的2，增长到了5，但是解密的效果与上面近似。再次验证了重新线性化，并未带来精确度的提升。
3.3 深度乘法总结

本节的测试与上篇明文乘法的结论雷同，即：

• 模数链限定了乘法深度（精确说是 Rescale 次数）；
  
• 处在模数链底的时候较为特别：注意设置 coeff_modulus 第一位大于乘后 scale；
  
• 要想进步精度，就要适当拉长模数链（但是代价更大，下面会测试）。
   
  

四、参数设置对内存占用的影响

先叠甲：
        本节测试是统计差别参数设置，对内存占用的影响。差别性能的盘算机测试数据可能有差别，且我是用 Debug 模式运行，监视内存占用得出的数据，内存自己包含了 “上下文情况、各种密钥和实例”，乃至我每次运行都有颠簸，故不能看成精确值来推算，只具有相对意义。

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测试阐明：（为了减少上述因素带来的差别，故编码和加密的数目设置的比力多）
        设置模式为 CKKS方案，设置的 poly_modulus_degree = 8192，创建 二维 Plaintext 和 Ciphertext 数组。步调如下：

• 创建 [50,50] 的 Plaintext 数组，即一共 2500 个明文块；
  
• 二层循环遍历数组，依次对每块举行编码（编码内容一样，都是雷同的4096个数）；
  
• 编码竣事后，统计当前的 内存占用 和 程序运行时间；
  
• 创建 [50,50] 的 Ciphertext 数组，即一共 2500 个密文块；
  
• 二层循环遍历数组，依次对每块明文加密后放入对应密文块；
  
• 加密竣事后，统计当前的 内存占用 和 程序运行时间。
  

        这里测试的含义是：poly_modulus_degree = 8192 时，差别参数设置下，编码 2500个 明文块，以及加密 2500 个密文块。对应能存储的数据数目为：

 。

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由于测试比力无聊，这里直接上效果：（再次夸大，由于颠簸的原因，忽略小差别）

从表中发现结论：

• 明文块的巨细 和 编码时间 相对友好，密文块巨细 和 加密的运行时间 就很浮夸了；
  
• 纵向来看，调大中心值 和 scale，几乎不会影响内存占用；
  
• 横向来看，加长模数链，会同时增长明文块和密文块的巨细！
  

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        上节提到了，除了加大scale，加长模数链能进步效果精度，但是这里会加大内存。所以第三条结论比力紧张，为此再追加测试：

        证实，确实加长模数链会加大明文和密文的内存，相应的盘算时长应该也会增长（由于 编码 和 加密 时间确实长了）。别的，本次虽然只做了 CKKS 方案，但是 coeff_modulus 的设置雷同，故其他方案的结论应该也类似。

五、本篇总结

        本篇继承上篇针对 CKKS 方案的测试，首先证实白 重新线性化 虽然会减少密文长度，但是并不会对 盘算效果的精度 有明显的影响；模数链的长度确实会限定乘法深度（具体来说是 Rescale 次数），这点上密文乘法和明文乘法雷同；
        上篇中证实白 增长 scale 会进步精度，本篇也继承证实白 增长模数链 也能增长精度，但是内存测试后，前者 scale 不会进步内存，后者会增长 内存本钱 和 时间本钱。
        总结会发现，在应用同态加密的时候，首先 乘法深度很是受限，其次 内存本钱 和 时间本钱都是很需要考量的。故在操持算法的时候，要综合思量多方面因素，还是比力费工夫的。


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