主曲率为常数时曲面分类

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主曲率为常数                                   ⇔                         K                         ,                         H                              \Leftrightarrow K,H                  ⇔K,H 为常数,曲面分类:
1.若                                             k                            1                                  =                                   k                            2                                  =                         0                              k_1=k_2=0                  k1​=k2​=0,则                                   S                              S                  S为全脐点曲面——平面的一部门;
2.若                                             k                            1                                  =                                   k                            2                                  ≠                         0                              k_1=k_2\neq0                  k1​=k2​=0,则                                   S                              S                  S为全脐点曲面——球面的一部门;
3.若                                             k                            1                                  ≠                                   k                            2                                       k_1\neq k_2                  k1​=k2​,则                                   S                              S                  S为圆柱面的一部门。
思量                                             k                            1                                  ≠                                   k                            2                                       k_1\neq k_2                  k1​=k2​的情况,则在此非脐点附近取正交运动标架                                   {                                   e                            1                                  ,                                   e                            2                                  }                              \{e_1,e_2\}                  {e1​,e2​}为主方向,

                                              w                            13                                  =                                   k                            1                                            e                            1                                  ,                                   w                            23                                  =                                   k                            2                                            e                            2                                       w_{13}=k_1e_1,w_{23}=k_2e_2                  w13​=k1​e1​,w23​=k2​e2​。
利用布局方程容易盘算得到
                                    (                                   k                            1                                  −                                   k                            2                                  )                                   w                            12                                  ∧                                   w                            2                                  =                         0                              (k_1-k_2)w_{12}\wedge w_2=0                  (k1​−k2​)w12​∧w2​=0,
从而                                             w                            12                                  ∧                                   w                            2                                  =                         0                              w_{12}\wedge w_2=0                  w12​∧w2​=0。
同理                                             w                            12                                  ∧                                   w                            1                                  =                         0                              w_{12}\wedge w_1=0                  w12​∧w1​=0,
从而                                             w                            12                                  =                         0                              w_{12}=0                  w12​=0,
从而                                   K                         =                         0                              K=0                  K=0 且                                             w                            1                                  ,                                   w                            2                                       w_1,w_2                  w1​,w2​ 是常微分形式。
不妨设                                             k                            1                                  ≠                         0                         ,                                   k                            2                                  =                         0                              k_1\neq0,k_2=0                  k1​=0,k2​=0,则                                             w                            23                                  =                         0                              w_{23}=0                  w23​=0。
可以看到标架运动方程化为
                                         {                                                                                             d                                                           e                                              1                                                                                                                                  =                                                           k                                              1                                                                          w                                              1                                                                          e                                              3                                                                                                                                                      d                                                           e                                              2                                                                                                                                  =                                           0                                                                                                                                       d                                                           e                                              3                                                                                                                                  =                                           −                                                           k                                              1                                                                          w                                              1                                                                          e                                              1                                                                                                             \left\{\begin{array}{ll}de_1&=k_1w_1e_3\\de_2&=0\\de_3&=-k_1w_1e_1\end{array}\right.                     ⎩               ⎨               ⎧​de1​de2​de3​​=k1​w1​e3​=0=−k1​w1​e1​​

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