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一、奇异值分解（SVD）的数学定义
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种将恣意实数或复数矩阵分解为三个特定矩阵乘积的方法。其数学定义如下：
1.1 分解情势
给定一个秩为 r r r的矩阵 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n（或 C m × n \mathbb{C}^{m \times n} Cm×n），其 SVD 分解为：
A = U Σ V T \mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T A=UΣVT
其中：
- U ∈ R m × m \mathbf{U} \in \mathbb{R}^{m \times m} U∈Rm×m（或 C m × m \mathbb{C}^{m \times m} Cm×m）是正交矩阵（酉矩阵），其列向量称为左奇异向量。
- V ∈ R n × n \mathbf{V} \in \mathbb{R}^{n \times n} V∈Rn×n（或 C n × n \mathbb{C}^{n \times n} Cn×n）是正交矩阵（酉矩阵），其列向量称为右奇异向量。
- Σ ∈ R m × n \mathbf{\Sigma} \in \mathbb{R}^{m \times n} Σ∈Rm×n（或 C m × n \mathbb{C}^{m \times n} Cm×n）是对角矩阵，其非对角线元素为 0，对角线元素 σ 1 ≥ σ 2 ≥ ⋯ ≥ σ r > 0 \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq \sigma_r > 0 σ1≥σ2≥⋯≥σr>0称为奇异值，别的元素为 0。
1.2 矩阵结构阐明
- 矩阵 U \mathbf{U} U和 V \mathbf{V} V的性质：
- 正交性： U T U = I m \mathbf{U}^T \mathbf{U} = \mathbf{I}_m UTU=Im， V T V = I n \mathbf{V}^T \mathbf{V} = \mathbf{I}_n VTV=In。
- 列向量构成正交基：左奇异向量 { u 1 , … , u m } \{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_m\} { u1,…,um}是 A A T \mathbf{A} \mathbf{A}^T AAT的特性向量，右奇异向量 { v 1 , … , v n } \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\} { v1,…,vn}是 A T A \mathbf{A}^T \mathbf{A} ATA的特性向量。
- 矩阵 Σ \mathbf{\Sigma} Σ的结构：
Σ = [ σ 1 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 σ 2 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ σ r 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ] m × n \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_2 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_r & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots &
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