谈谈 WMTS 中的 TileMatrix 与 ScaleDenominator

目录

• 1. WMTS 中的 TileMatrix 是什么
  
• 2. ScaleDenominator 是什么
  
  
  
  • 2.1. 一个像素的显示器物理尺寸是多大
    
  • 2.2. 瓦片图片的一个像素是多大
    
  • 2.3. 为什么是 0.28 毫米
    
  
  

其实有时间琢磨规范文档的话，倒也不必费时间自己琢磨，这篇算是一些口水话心得。
规范文档指路：OGC Standard - Two Demensional Tile Matrix Set #6. TileMatrixSet，对，并不是 WMTS 规范，而是更精确的 2D瓦片阵列集规范，它独立于 WMTS 规范而发布。
1. WMTS 中的 TileMatrix 是什么

在我之前的文章《OGC WebGIS 常用服务标准速查》中有提过，这个其实就是一个“阵列”，形象的比喻就是一个“棋盘”，一张网格：

因为我们学习线性代数的时候矩阵就和这玩意儿长得像，所以就被称作“瓦片阵列”，即 TileMatrix。而基于同一个坐标系的多个瓦片阵列，就被称作“瓦片阵列集”（或者类似的名字，你开心就好），即 TileMatrixSet。
打开 WMTS 的 XML 能力文档，看看 EPSG:4326 坐标系的第 1 级瓦片阵列定义：

1. <TileMatrix>
2.   <ows:Identifier>EPSG:4326:1</ows:Identifier>
3.   <ScaleDenominator>1.3977056600717944E8</ScaleDenominator>
4.   <TopLeftCorner>90.0 -180.0</TopLeftCorner>
5.   <TileWidth>256</TileWidth>
6.   <TileHeight>256</TileHeight>
7.   <MatrixWidth>4</MatrixWidth>
8.   <MatrixHeight>2</MatrixHeight>
9. </TileMatrix>

复制代码

这些属性一眼看过去很容易知道其含义：

• Identifier：这个瓦片阵列的 ID
  
• TopLeftCorner：这个瓦片的左上角位置，此处是经纬度表达（基于 EPSG:4326 坐标系）
  
• TileWidth、TileHeight：瓦片的像素长宽，即 256 × 256 像素
  
• MatrixWidth、MatrixHeight：瓦片阵列的长宽；不理解的可以想象一下“矩阵”的长宽，代表这一级瓦片横向纵向跨度有多少个瓦片
  

最后一个没说的 ScaleDenominator，翻译过来是 比例分母，也是本文重点要介绍的东西。
2. ScaleDenominator 是什么

在回答这个问题之前，我先提 2 个问题：

• 在早些年最具代表性的 Windows 系统使用的 96 PPI 像素的屏幕上，1 像素的尺寸是多少？
  
• 一个瓦片中，1 像素表示多大经纬度或现实尺寸？
  

2.1. 一个像素的显示器物理尺寸是多大

回答第 1 个问题很简单，网上一搜大概就有，或者拿 23.8 英寸的 1080p 显示器大致算一下也行：

• 23.8 英寸 1080p 显示器对角线约 2202.9 个像素
  
• 23.8 英寸约为 604.52 毫米
  

所以 1 个像素的长宽大概是 604.52 / 2202.9 ≈ 0.274 毫米。
同理，算出 27 寸 4k（3840 × 2160）显示器的像素尺寸约为 0.156 毫米。

随着技术进步，现在的显示器面板已经把这个值进一步提高了，27 英寸的 4K 显示器都很常见，物理像素尺寸进一步缩小，而 Windows 操作系统为了显示效果，会在高分辨率屏幕中使用缩放率来提高平滑度 —— 比如，我的 4K 分辨率 27 寸显示器就使用了 200% 缩放率，也即 4 个像素（长宽各缩放 200%，即 2 个像素 × 2 个像素）作为原来的 1 个像素显示，这样 3840 × 2160 的物理分辨率就会模拟成 1920 × 1080。

2.2. 瓦片图片的一个像素是多大

看第 2 个问题。
瓦片是有等级的，想知道瓦片 1 像素的尺寸，那么就势必知道两个因子：

• 这瓦片长宽多少像素
  
• 这瓦片占的总尺寸（长宽）
  

以 GeoServer 内置的 EPSG:4326 瓦片阵列集定义来看，第 0 级瓦片阵列有 1 行 2 列（MatrixWidth 和 MatrixHeight），那么一个瓦片的东西跨度应为地球周长的一半：

查资料得知地球赤道周长的值约为 400750170米，此 0 级瓦片东西向有 256 个像素，容易得知，每个像素为 (400750170 ÷ 2) ÷ 256 = 782715.17578125 米。
现在有了上述的计算例子，就可以足够解释什么是 ScaleDenominator 了：

\[ScaleDenominator_{0} = \frac{782715.17578125}{0.00028} = 2795411342.075892857\]
这个值与 GeoServer 中第 0 级瓦片阵列的 ScaleDenominator 值 279541132.0143589 仅差距不到 10，从误差角度看可以认为相等（地球赤道的大小可能采用的数值略不一样）。
从公式来看，这个比例就像是在说：0.00028 米（0.28 mm）的屏幕像素尺寸，实际上是地球表面的 782715.17578125 米，所以这个比例分母也可以这么理解：

\[\frac{地表实际尺寸}{ScaleDenominator}=像素尺寸\]
说人话，这个比例分母的含义就是 “地表距离和屏幕距离的比例尺”。
2.3. 为什么是 0.28 毫米

有人会疑问你这个 0.00028 米（0.28 毫米） 是怎么来的？在文章开头引用的规范中，规定了一个 标准渲染像素尺寸 的东西，即 0.28mm 作为一个像素的长宽。
而在 2.1 小节的实际计算中，传统高清显示器的像素尺寸也就差不多是这个数值，考虑到标准制定的时间和硬件背景，使用 0.28 毫米也不足为奇了。

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