【动态规划】（一）动态规划理论及基础标题

理论基础

• 动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，假如某一题目有很多重叠子题目，利用动态规划是最有用的。
  
• 所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
  
• 动态规划是当前的效果取决于上一阶段的效果，因此存在一个递推公式
  

动态规划做题五部曲：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  
• 确定递推公式
  
• dp数组如何初始化
  
• 确定遍历顺序
  
• 打印dp数组
  

如何debug：

• 找题目的最好方式就是把dp数组打印出来，看看毕竟是不是按照自己思绪推导的！
  
• 写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的效果。
  
• 思考以下题目：
  
  
  
  • 是否举例推导状态转移公式？
    
  • 是否打印dp数组的日记？
    
  • dp数组打印效果与推导状态时同等？
    
  
  

斐波那契数

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  斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，背面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请盘算 F(n) 。
动规五部曲：

• dp的定义： 第 i 个数的斐波那契数值是dp
  
• 确定递推公式： F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)
  
• dp数组初始化： F(0) = 0，F(1) = 1
  
• 确定遍历顺序： 从递归公式dp = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历。
  

程序实现：

1. int fib(int n)
2. {
3.         if(n <= 1)
4.                 return n;
5.         vector<int> dp(n + 1);
6.         dp[0] = 0;
7.         dp[1] = 1;
8.         for(int i = 2; i <= n; i++)
9.                 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
10.         return dp[n];
11. }

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爬楼梯

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假设你正在爬楼梯。需要 n ( n > 0)阶你才气到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种差别的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入： 2
输出： 2
示例 2：
输入： 3
输出： 3
思绪：

• 那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
  
• 所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划
  
• 即要爬到第 i 层，可以由第 i - 1 层跨一步，或者 i - 2 层跨2步到达。
  

动态规划五部曲：

• dp的定义： 爬到第 i 层楼梯，有 dp 种方法
  
• 确定递推公式：
  
  
  
  • 首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp了么。
    
  • 另有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp了么
    
  • 那么dp就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和，即 dp = dp[i-1] + dp[i-2]
    
  
  
• dp数组初始化： dp[1] = 1; dp[2] = 2
  
• 确定遍历顺序： 从递推公式dp = dp[i - 1] + dp[i - 2]; 中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的。
  
• 举例推导dp数组
  举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是如许的
  

 
程序实现

1. int climbStairs(int n)
2. {
3.     if (n <= 2)
4.         return n;
5.     vector<int> dp(n + 1);
6.     dp[1] = 1;
7.     dp[2] = 2;
8.     for (int i = 3; i <= n; i++)
9.         dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
10.     return dp[n];
11. }

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利用最小花费爬楼梯

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给定一个整数数组 cost ，其中 cost 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要付出的费用。一旦你付出此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯，盘算并返回达到楼梯顶部的最低花费
示例 1：
输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。

• 付出 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 15 。
  

示例 2：
输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
动态规划五部曲：

• dp的定义： 到达第 i 台阶所花费的最少体力为 dp
  
• 确定递推公式： 可以有两个途径得到dp，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
  
  
  
  • dp[i - 1] 跳到 dp 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
    
  • dp[i - 2] 跳到 dp 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
    
  • 一定是选最小的，所以
    
    1. dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

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• dp数组初始化： 题意表明可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯，因此 dp[0] = 0，dp[1] = 0
  
• 确定遍历顺序： 因为是模拟台阶，而且 dp 由 dp[i-1] dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了
  
• 举例推导dp数组
  拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
  

 
程序实现：

1. int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost)
2. {
3.         if(cost.size() <= 1)
4.                 return 0;
5.         int size = cost.size();
6.         vector<int> dp(size + 1);                // 到达第 i 层的最小花费
7.         dp[0] = 0;
8.         dp[1] = 0;
9.         for(int i = 2; i <= size; i++)
10.                 dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);
11.         // for(int num : dp)
12.         //         cout << num << " ";
13.         // cout << endl;
14.         return dp[size];
15. }

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差别的路径

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一个呆板人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）
呆板人每次只能向下或者向右移动一步。呆板人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问统共有多少条差别的路径？

 
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 2, n = 3
输出：3
思绪：
  因为呆板人只能向下或者向右移动一格，因此对于 nums[j] 只能由上方一格 nums[i-1][j] 或者 左边一格 nums[j-1] 移动得到。
动态规划五部曲：

• dp[j]的定义： 从[0,0] 出发到 [i,j] 有 dp[j] 条差别的路径。
  
• 确定递推公式： 向下移动一格的路径 + 向右移动一格的路径（雷同爬楼梯）
  
  1. dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

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• dp数组初始化：
  
  
  
  • 根据递推公式可以看，需要对第一行与第一列的数组初始化。
    
  • 第一列的 dp 数组均为1，因为呆板人跳到第一列的任何格子的路径只有1条（一直向下），即 dp[0] = 1;
    
  • 第一列的 dp 数组均为1，因为呆板人跳到第一行的任何格子的路径只有1条（一直向右），即 dp[0][j] = 1;
    
  • 其余格子均通过递推公式求得，因此初始化为任何值均可。
    
  • 因此为了简化程序，dp 数组全部初始化为 1 即可。
    
    1. vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,1));

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• 确定遍历顺序： 根据递推公式，都是从其上方和左侧推导而来，因此从左到右，从上到下遍历即可。
  
• 举例推导dp数组
  

程序实现：

1. int uniquePaths(int m, int n) {        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,1));
2.         // 其他块        for(int i = 1; i < m; i++)        {                for(int j = 1; j < n; j++)                {                        dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];                 }        }                        return dp[m-1][n-1];}

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差别的路径2

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一个呆板人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
呆板人每次只能向下或者向右移动一步。呆板人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条差别的路径？

 
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：

 
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
本题在上一题-差别的路径的差别点上进行优化
差别点：

• 本题在递推时需要判断是否遇到障碍物，一旦遇到障碍物时，可走的路径为 0 （可省略，初始化就为0）
  
  1. if(obstacleGrid[i][j] == 0)
  2.         dp[i][j] = 0;                        // 可省略 因为初始化就为 0
  3. else
  4.         dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];

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• 在初始化时，第一行/列，在遇到障碍物前，可走路径为1，障碍物后的路径均为 0，不妨初始均为0，即包括第一行/列遇到障碍物后，同时包括递推时遇到障碍物。
  
  1. // 初始化程序优化
  2. vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,0));

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• 初始化第一行 / 列 遇到障碍物前路径条数为 1
  
  1. // 第一列
  2. for(int i = 0; i < m; i++)
  3. {
  4.         if(obstacleGrid[i][0])
  5.                 break;
  6.         else
  7.                 dp[i][0] = 1;
  8. }
  9. // 第一行
  10. for(int  j = 0; j < n; j++)
  11. {
  12.         if(obstacleGrid[0][j])
  13.                 break;
  14.         else
  15.                 dp[0][j] = 1;
  16. }

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程序实现：

1. int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid)
2. {
3.         int m = obstacleGrid.size();
4.         int n = obstacleGrid[0].size();
5.        
6.         // 初始化程序优化
7.         vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,0));
8.         // 第一列
9.         for(int i = 0; i < m; i++)
10.         {
11.                 if(obstacleGrid[i][0])
12.                         break;
13.                 else
14.                         dp[i][0] = 1;
15.         }
16.         // 第一行
17.         for(int  j = 0; j < n; j++)
18.         {
19.                 if(obstacleGrid[0][j])
20.                         break;
21.                 else
22.                         dp[0][j] = 1;
23.         }
24.                
25.         // 其他块
26.         for(int i = 1; i < m; i++)
27.         {
28.                 for(int j = 1; j < n; j++)
29.                 {
30.                         if(obstacleGrid[i][j] == 0)
31.                                 dp[i][j] = 0;
32.                         else
33.                                 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
34.                 }
35.         }               
36.         return dp[m-1][n-1];
37. }

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整数拆分

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给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以得到的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
思绪

• 将n拆成2个数，i 和 n - i，乘积为 i * (n - i)
  
• 将n拆成多个数（>2），其中一个数为 i，另外数的和为 n - i，乘积为 i * dp[n-i]，其中 dp[j] 表示拆分数字 j，可以得到最大的乘积
  
• 这里这个想法（dp的含义）其实不是特殊好想
  

动态五部曲

• dp的定义：拆分数字 i，可得到的最大乘积
  
• 递推公式：
  
  1. dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

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• dp数组初始化
  
  
  
  • 严酷从 dp 的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没故意义的数值
    
  • 这里只初始化 dp[2] = 1;
    
  
  
• 确定遍历顺序： 通过递推公式看出，从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp，所以顺序为：
  
  1. for (int i = 3; i <= n ; i++) {    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
  2.     }}

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• 举例推导dp数组： 举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
  

 
程序实现：

1. int integerBreak(int n) {        // dp[i] : i 拆分后得到的最大乘积数        vector<int> dp(n+1);        // dp[0] dp[1] 偶然义        dp[0] = dp[1] = 0;                dp[2] = 1;        for(int i = 3; i <= n; i++)        {                // 对 i 进行拆分 j 和 i-j                for(int j = 1; j < i; j++)                                {                        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
2.                 }        }        return dp[n];}

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差别的二叉搜索树

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给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点构成的二叉搜索树有多少种？
示例:

突破口：无
思绪，画图找规律

 

当 n = 3 时，可以分为以下几种情况：

• 当 1 为头结点的时候，其右子树有两个节点，和 n 为 2 的时候两棵树的布局是一样的啊！
  
• 当 3 为头结点的时候，其左子树有两个节点，和 n 为 2 的时候两棵树的布局也一样
  
• 当 2 为头结点的时候，其左右子树都只有一个节点，和 n 为 1 的时候只有一棵树的布局也是一样的！
  

致此，发现了重叠子题目，也就是可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。
dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示：

 
此时我们已经找到递推关系了，那么可以用动规五部曲再体系分析一遍。

• dp含义： 1 到 i 为节点构成的二叉搜索树的个数为dp。
  
• 确定递推公式： dp += dp[ 以j为头结点左子树节点数量 ] * dp[ 以j为头结点右子树节点数量 ]，j相称于是头结点的元素，从1遍历到i为止。所以递推公式：
  
  1. dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];

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  j-1 为 j 为头结点左子树节点数量，i-j 为以 j 为头结点右子树节点数量
  
• dp数组初始化：
  
  1. dp[0] = 1;        dp[1] = 1;

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• 确定遍历顺序： 通过递推公式看出，节点 i 依靠 i 之前节点数的状态，所以为顺序遍历。
  
  1. for(int i = 2; i <= n; i++)
  2. {
  3.         for(int j = 1; j <= i; j++)
  4.         {
  5.                 dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
  6.         }
  7. }

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• 举例推导dp数组： n为5时候的dp数组状态如图：
  

 
程序实现：

1. int numTrees(int n) {        // dp[i] : 输入 i 能形成的最多二叉搜索树的个数        vector<int> dp(n+1);        dp[0] = 1;        dp[1] = 1;
2.         for(int i = 2; i <= n; i++)        {                for(int j = 1; j <= i; j++)                {                        dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];                }        }                for(int num: dp)                cout << num << " ";                return dp[n];}

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