扫描线专题
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什么是扫描线算法？
扫描线算法（Sweep Line Algorithm）是一种常用于解决多少问题（尤其是涉及区间、时间线或事故的重叠问题）的算法。
它的根本思想是“模拟一条扫描线从一个方向扫过所有事故”，在扫描过程中维护一个数据布局来追踪当前的状态（比方活动区间的数量、最小值、最大值等）。
扫描线算法的根本步调
- 事故表现：每个问题中的区间（比方会议时间）或事故，都可以转化为多少个关键事故（比方开始时间和竣事时间）。
- 事故排序：将所有事故按照时间排序（假如时间雷同，则根据事故的类型来排序，比方竣事事故优先于开始事故）。
- 扫描过程：从最早的事故开始，按照排序顺序逐一处理每个事故，并在处理每个事故时更新状态（比方活动会议的数量、最大活动时间等）。
- 数据维护：根据事故类型，更新当前的活动状态。比方，遇到一个开始事故时，我们增加一个计数，遇到竣事事故时，减少计数，大概更新其他必要维护的值。
- 输出效果：在扫描过程中，根据需求输出解答。
应用场景
扫描线算法广泛应用于处理各种区间问题，范例的应用包括：
- 会议安排（检测会议时间是否有重叠）
- 区间覆盖问题（查抄是否有足够的资源覆盖所有区间）
- 计算最大并发数（计算在某一时间点活泼的事故数量，如计算最多同时存在的会议数）
- 凸包问题（计算一个点集的最小凸包）
扫描线算法的具体步调
1. 事故表现与排序
假设我们有多少个区间（如会议的开始时间和竣事时间），我们首先将每个区间拆解为两个事故：
一个是开始事故，另一个是竣事事故。
每个事故可以表现为一个元组 (time, type)，其中 time 表现事故发生的时间，type 可以是 +1（表现开始）大概 -1（表现竣事）。
比方，会议区间 [(5, 10), (8, 12), (13, 16)] 可以拆解为事故：
- [(5, +1), (10, -1), (8, +1), (12, -1), (13, +1), (16, -1)]
2. 事故扫描与状态更新
扫描线的焦点是对事故的处理。在扫描线遍历时，我们保持一个计数器（或其他数据布局）来跟踪当前的活动状态。对于会议安排问题，我们使用一个计数器来记录当前同时进行的会议数量。
- 当遇到一个 开始事故（+1），增加计数器，表现新的会议开始。
- 当遇到一个 竣事事故（-1），减少计数器，表现一个会议竣事。
3. 效果输出
在扫描过程中，我们可以输出每个时间点的活动状态。比方，我们可以在每次更新计数器时，查抄当前同时进行的会议数，大概记录最大会议数等。
例子：检测会议是否有重叠
假设我们有一组会议的时间区间，使用扫描线算法来判断是否所有会议都能到场。
给定的会议区间：[[0, 30], [5, 10], [15, 20]]
1. 拆解事故
我们将每个会议区间拆解成开始事故和竣事事故：
- [(0, +1), (30, -1), (5, +1), (10, -1), (15, +1), (20, -1)]
按时间排序事故，时间雷同的环境下优先处理竣事事故：
- [(0, +1), (5, +1), (10, -1), (15, +1), (20, -1), (30, -1)]
我们从第一个事故开始，逐一扫描：
- 在时间 0 处，遇到开始事故 +1，活动会议数增加到 1。
- 在时间 5 处，遇到开始事故 +1，活动会议数增加到 2，阐明此时有两个会议重叠。
- 在时间 10 处，遇到竣事事故 -1，活动会议数减少到 1。
- 在时间 15 处，遇到开始事故 +1，活动会议数增加到 2，阐明此时又有两个会议重叠。
- 在时间 20 处，遇到竣事事故 -1，活动会议数减少到 1。
- 在时间 30 处，遇到竣事事故 -1，活动会议数减少到 0。
4. 判断是否有重叠
在扫描过程中，我们发现活动会议数有过大于 1 的环境（特殊是在时间 5 和时间 15），因此有重叠会议，返回 false。
扫描线算法的上风
- 时间复杂度：事故排序的时间复杂度是 O(n log n)，其中 n 是会议数或事故数。扫描线的遍历时间复杂度是 O(n)。因此，团体时间复杂度是 O(n log n)，比暴力算法（O(n^2)）要高效得多。
- 空间复杂度：必要存储所有事故，空间复杂度为 O(n)。
- 易于扩展：扫描线算法可以很容易地适应更多的需求，比方统计某一时候活动的最大数量、求得活动的区间并进行其他计算等。
扩展应用
- 最大并发活动数：通过扫描线算法，我们可以轻松地计算在某个时候同时进行的最多会议数（即最大并发数）。
- 区间合并：我们还可以通过扫描线算法来合并重叠的区间。
- 区间覆盖：查抄一组区间是否能完全覆盖一个目的区间等。
总结
扫描线算法是一种非常强盛且高效的算法，尤其实用于处理与区间重叠、事故排序相干的多少问题。
在许多环境下，它比暴力算法要高效得多，尤其是在数据量大的时候，能够明显减少计算的复杂度。
参考资料
https://leetcode.cn/problems/4sum/
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