动手学深度学习11.8. RMSProp算法-笔记&练习（PyTorch） ...

以下内容为结合李沐老师的课程和教材补充的学习笔记，以及对课后练习的一些思索，自留回顾，也供同砚之人交流参考。
本节课程地址：72 优化算法【动手学深度学习v2】_哔哩哔哩_bilibili
本节教材地址：11.8. RMSProp算法 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation
本节开源代码：...>d2l-zh>pytorch>chapter_optimization>rmsprop.ipynb

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RMSProp算法

11.7节 中的关键题目之一，是学习率按预定时间表 

 明显降低。 固然这通常实用于凸题目，但对于深度学习中遇到的非凸题目，大概并不理想。 但是，作为一个预处理器，Adagrad算法按坐标顺序的适应性是非常可取的。
(Tieleman and Hinton, 2012) 发起以RMSProp算法作为将速率调度与坐标自适应学习率分离的简单修复方法。 题目在于，Adagrad算法将梯度 

 的平方累加成状态矢量 

 。 因此，由于缺乏规范化，没有约束力， 

 持续增长，几乎上是在算法收敛时呈线性递增。
办理此题目的一种方法是使用 

 。 对 

 的公道分布来说，它将收敛。 遗憾的是，限定行为见效大概必要很长时间，因为该流程记住了值的完整轨迹。 另一种方法是按动量法中的方式使用泄漏平均值，即 

 ，此中参数 

 。 保持所有其它部分不变就产生了RMSProp算法。
算法

让我们具体写出这些方程式。

常数 

 通常设置为 

 ，以确保我们不会因除以零或步长过大而受到影响。 鉴于这种扩展，我们现在可以自由控制学习率 

 ，而不思量基于每个坐标应用的缩放。 就泄漏平均值而言，我们可以采用与之前在动量法中实用的相同推理。 扩展 

 定义可获得

同之前在 11.6节 小节一样，我们使用 

 。 因此，权重总和尺度化为 1 且观测值的半衰期为 

 。 让我们图像化各种数值的 

 在已往40个时间步长的权重。

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补充：
每个已往的梯度平方 

 的权重是 

 。随着时间步 

 的增长，权重 

 会渐渐衰减。因此， 

 的值决定了历史梯度平方对当前更新的贡献程度。

• 假如 
  
   靠近 1，权重衰减得慢，历史信息的影响持续时间长。
  
• 假如 
  
   靠近 0，权重衰减得快，历史信息的影响持续时间短。
  

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1. import math
2. import torch
3. from d2l import torch as d2l
4. d2l.set_figsize()
5. gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
6. for gamma in gammas:
7.     x = torch.arange(40).detach().numpy()
8.     d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
9. d2l.plt.xlabel('time')

复制代码

 

从零开始实现

和之前一样，我们使用二次函数 

 来观察RMSProp算法的轨迹。 追念在 11.7节 一节中，当我们使用学习率为0.4的Adagrad算法时，变量在算法的后期阶段移动非常缓慢，因为学习率衰减太快。 RMSProp算法中不会发生这种环境，因为 

 是单独控制的。

1. def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
2.     g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
3.     s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
4.     s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
5.     x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
6.     x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
7.     return x1, x2, s1, s2
9. def f_2d(x1, x2):
10.     return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
12. eta, gamma = 0.4, 0.9
13. d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))

复制代码

输出结果：
epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000

接下来，我们在深度网络中实现RMSProp算法。

1. def init_rmsprop_states(feature_dim):
2.     s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))
3.     s_b = torch.zeros(1)
4.     return (s_w, s_b)
5. def rmsprop(params, states, hyperparams):
6.     gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
7.     for p, s in zip(params, states):
8.         with torch.no_grad():
9.             s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * torch.square(p.grad)
10.             p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
11.         p.grad.data.zero_()

复制代码

我们将初始学习率设置为0.01，加权项 

 设置为0.9。 也就是说， 

 累加了已往的 

 次平方梯度观测值的平均值。

1. data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
2. d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
3.                {'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim)

复制代码

输出结果：
loss: 0.245, 0.025 sec/epoch

轻便实现

我们可直接使用深度学习框架中提供的RMSProp算法来练习模子。

1. trainer = torch.optim.RMSprop
2. d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9},
3.                        data_iter)

复制代码

输出结果：
loss: 0.244, 0.012 sec/epoch

小结

• RMSProp算法与Adagrad算法非常相似，因为两者都使用梯度的平方来缩放系数。
  
• RMSProp算法与动量法都使用泄漏平均值。但是，RMSProp算法使用该技术来调整按系数顺序的预处理器。
  
• 在实验中，学习率必要由实验者调度。
  
• 系数 
  
   决定了在调整每坐标比例时历史记载的时长。
  

补充

在RMSProp算法中，系数 

 决定了历史梯度平方对当前更新的贡献程度。具体来说，

 决定了历史信息的保留时长：

• - 较大的 
  
  （越靠近于1）：保留更多历史信息，对近期梯度变革反应较慢。
  
• - 较小的 
  
  （越靠近于0）：保留较少历史信息，对近期梯度变革反应更快。
  

这种机制使得RMSProp能够在动态调整学习率的同时，平衡对历史梯度信息的依赖程度。
练习

• 假如我们设置 
  
   ，实验会发生什么？为什么？
  解：
  假如设置 
  
  ，则更新公式变为： 
  
  
  这意味着 
  
   的值将不再更新，始终保持为初始值
  
  ，RMSProp算法失去了动态动态调整学习率的能力，也无法根据梯度的历史信息举行优化，算法无法正常工作。
  代码如下：
  

1. d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 1},
2.                        data_iter)

复制代码

输出结果：
loss: nan, 0.012 sec/epoch

2. 旋转优化题目以最小化 

 。收敛会发生什么？
解：
RMSProp算法通过维护梯度平方的加权平均值来调整学习率，这使得它能够适应差别方向上的梯度变革，并相应地调整学习率，收敛到靠近(1,1)。
代码如下：

1. def rmsprop_2d_rotation(x1, x2, s1, s2):
2.     g1, g2, eps = 4.2 * x1 - 3.8, 4.2 * x2 - 3.8, 1e-6
3.     s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
4.     s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
5.     x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
6.     x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
7.     return x1, x2, s1, s2
9. def f_2d_rotation(x1, x2):
10.     return 0.1 * (x1 + x2) ** 2 + 2 * (x1 - x2) ** 2
12. eta, gamma = 0.4, 0.9
13. d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d_rotation))

复制代码

输出结果：
epoch 20, x1: 0.840102, x2: 0.904762

3. 试试在真正的呆板学习题目上应用RMSProp算法会发生什么，例如在Fashion-MNIST上的练习。试验差别的取值来调整学习率。
解：
代码如下：

1. import torch
2. from torch import nn
3. from d2l import torch as d2l
5. net = nn.Sequential(
6.     nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.Sigmoid(),
7.     nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
8.     nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.Sigmoid(),
9.     nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
10.     nn.Flatten(),
11.     nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.Sigmoid(),
12.     nn.Linear(120, 84), nn.Sigmoid(),
13.     nn.Linear(84, 10))
14. batch_size = 256
15. train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)
16. def train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, device):
17.     def init_weights(m):
18.         if type(m) == nn.Linear or type(m) == nn.Conv2d:
19.             nn.init.xavier_uniform_(m.weight)
20.     net.apply(init_weights)
21.     print('training on', device)
22.     net.to(device)
23.     loss = nn.CrossEntropyLoss()
24.     animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs],
25.                             legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
26.     timer, num_batches = d2l.Timer(), len(train_iter)
27.     for epoch in range(num_epochs):
28.         metric = d2l.Accumulator(3)
29.         net.train()
30.         for i, (X, y) in enumerate(train_iter):
31.             timer.start()
32.             optimizer.zero_grad()
33.             X, y = X.to(device), y.to(device)
34.             y_hat = net(X)
35.             l = loss(y_hat, y)
36.             l.backward()
37.             optimizer.step()
38.             with torch.no_grad():
39.                 metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
40.             timer.stop()
41.             train_l = metric[0] / metric[2]
42.             train_acc = metric[1] / metric[2]
43.             if (i + 1) % (num_batches // 5) == 0 or i == num_batches - 1:
44.                 animator.add(epoch + (i + 1) / num_batches,
45.                              (train_l, train_acc, None))
46.         test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
47.         animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc))
48.     print(f'loss {train_l:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
49.           f'test acc {test_acc:.3f}')
50.     print(f'{metric[2] * num_epochs / timer.sum():.1f} examples/sec '
51.           f'on {str(device)}')
52. lr, alpha, num_epochs = 0.01, 0.9, 10
53. optimizer = torch.optim.RMSprop(net.parameters(), lr=lr, alpha=alpha)
54. train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

复制代码

输出结果：
loss 0.262, train acc 0.900, test acc 0.883
22394.2 examples/sec on cpu

1. lr, alpha, num_epochs = 0.01, 0.5, 10
2. optimizer = torch.optim.RMSprop(net.parameters(), lr=lr, alpha=alpha)
3. train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

复制代码

输出结果：
loss 0.308, train acc 0.886, test acc 0.875
25487.7 examples/sec on cpu

1. lr, alpha, num_epochs = 0.01, 0.1, 10
2. optimizer = torch.optim.RMSprop(net.parameters(), lr=lr, alpha=alpha)
3. train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

复制代码

输出结果：
loss 0.388, train acc 0.863, test acc 0.848
24416.1 examples/sec on cpu

4. 随着优化的盼望，必要调整 

 吗？RMSProp算法对此有多敏感？
解：
在大多数环境下，RMSProp算法的 

 是一个相对稳定的超参数。默认值通常为0.9。这些值在很多任务中体现良好，因此在练习过程中通常不必要动态调整 

 。
但假如练习过程中发现算法对历史梯度信息的依赖过强（例如收敛速度过慢），可以尝试略微降低 

 的值，以增长对近期梯度的敏感性。 反之，假如发现算法对近期梯度变革过于敏感（例如出现震荡），可以尝试增长 

 的值。
RMSProp算法对 

 的选择较为敏感。差别的 

 值会明显影响优化过程。例如，较高的 

 值会使算法更多地依赖历史梯度信息，得当必要长期记忆的场景；而较低的 

 值则更得当对近期梯度变革更敏感的任务。

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