起首说结论：
在复平面中，两个复数（即向量）相乘时，满意模长相乘，角度相加的性质。
从数学上证实
假设两个复数 ( z 1 z_1 z1 ) 和 ( z 2 z_2 z2 ) 表示为：
z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) z1=r1(cosθ1+isinθ1)
z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) z2=r2(cosθ2+isinθ2)
其中：
- ( r 1 = ∣ z 1 ∣ r_1 = |z_1| r1=∣z1∣ ) 和 ( r 2 = ∣ z 2 ∣ r_2 = |z_2| r2=∣z2∣ ) 分别是 ( z 1 z_1 z1 ) 和 ( z 2 z_2 z2 ) 的模长，
- ( θ 1 \theta_1 θ1 ) 和 ( θ 2 \theta_2 θ2 ) 分别是 ( z 1 z_1 z1 ) 和 ( z 2 z_2 z2 ) 的辐角（即相对于实轴的角度）。
1. 计算乘积 z 1 ⋅ z 2 z_1 \cdot z_2 z1⋅z2
我们将 ( z 1 z_1 z1 ) 和 ( z 2 z_2 z2 ) 相乘，得到：
z 1 ⋅ z 2 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) ⋅ r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) z_1 \cdot z_2 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \cdot r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) z1⋅z2=r1(cosθ1+isinθ1)⋅r2(cosθ2+isinθ2)
利用分配律展开：
z 1 ⋅ z 2 = r 1 r 2 [ ( cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 ) + i ( cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 ) ] z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i (\cos \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_1 \cos \theta_2) \right] z1⋅z2=r1r2[(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]
2. 应用三角恒等式
根据加法公式的三角恒等式，有：
cos ( θ 1 + θ 2 ) = cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 \cos(\theta_1 + \theta_2) = \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2 cos(θ1+θ2)=cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2
sin ( θ 1 + θ 2 ) = cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 \sin(\theta_1 + \theta_2) = \cos \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_1 \cos \theta_2 sin(θ1+θ2)=cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2
将这些恒等式代入到上面的表达式中，我们得到：
z 1 ⋅ z 2 = r 1 r 2 ( cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 ) ) z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) z1⋅z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))
3. 得出结果
根据复数的极坐标形式，这个结果可以写成：
z 1 ⋅ z 2 = r 1 r 2 ⋅ e i ( θ 1 + θ 2 ) z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i (\theta_1 + \theta_2)} z1⋅z2=r1r2⋅ei(θ1+θ2)
因此，我们得出结论：两个复数相乘时，其模长是各自模长的乘积，辐角是各自辐角的和，即满意“模长相乘，角度相加”的性质。
从几何角度证实
本质上就是坐标轴的变换
1.给出待乘的复数 u i u_i ui
{ u = a + b i u i = − b + a i \left\{\begin{array}{l} u=a+b i \\ u i=-b+a i \end{array}\right. {u=a+biui=−b+ai
( a , b ) ⋅ ( − b , a ) = 0 (a,b)\cdot(-b,a)=0 (a,b)⋅(−b,a)=0由于内积为0，故u与ui正交
2.给出恣意复数 l l l
以是 ∀ l = x + y i \forall l=x+y_{i} ∀l=x+yi与u相乘可以在新的坐标轴u、ui下表示，其与坐标轴角度与在原先坐标轴下类似。
以是两个复数（即向量）相乘时，满意角度相加的性质。
{ ∀ l = x + y i l ⋅ u = ( x + y i ) ⋅ u = x u + y u i \left\{\begin{array}{l} \forall l=x+y_{i} \\ l \cdot u=\left(x+y_{i}\right) \cdot u=x u+y u i \end{array}\right. {∀l=x+yil⋅u=(x+yi)⋅u=xu+yui
3.复数 l l l 在不同坐标轴下的表示图
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